Probl`emes de Math´ematiques Trois relations identiques dans P(E) ´Enonc´e Trois relations identiques dans P(E) Etant donn´e un ensemble E, on d´esigne par M une partie non vide de P(E) telle que : ∀ X, Y ∈ M, ∃ Z ∈ M, tel que Z ⊂ X ∩ Y. 1. Montrer que pour tout ensemble E, il existe de telles parties M de P(E). [ S ] 2. On associe `a M une relation binaire R d´efinie sur P(E) par : ∀ A, B ∈ P(E), A R B ⇔ ∃ X ∈ M telque A ∩ X = B ∩ X (a) Montrer que R est une relation d’´equivalence. [ S ] (b) Montrer que R est l’´egalit´e si et seulement si M = {E}. [ S ] (c) Montrer que R est l’´equivalence universelle si et seulement si ∅ ∈ M. [ S ] 3. On note �A la classe d’´equivalence, pour R, d’une partie A quelconque de E. (a) D´eterminer �E et �∅. [ S ] (b) Montrer que si A ∈ �E et B ∈ �E, alors A ∩ B ∈ �E. [ S ] (c) On pose N = �E, et dans P(E) on d´esigne par S la relation : ∀ A, B ∈ P(E), A S B ⇔ ∃ Y ∈ N telque A ∩ Y = B ∩ Y Montrer que les relations R et S sont identiques. [ S ] 4. On d´efinit sur P(E) la diff´erence sym´etrique : ∀ A, B ∈ P(E), A∆B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) Soit T la relation d´efinie sur P(E) par : ∀ A, B ∈ P(E), A T B ⇔ ∃ X ∈ M telque (A∆B) ∩ X = ∅ (a) Montrer que les relations T et R sont identiques. [ S ] (b) A, A′, B, B′ ´etant des parties de E telles que A R A′ et B R B′, montrer que : (A ∩ B) R (A′ ∩ B′), (A ∪ B) R (A′ ∪ B′), ¯A R A′, et (A∆B) R (A′∆B′). [ S ] 5. D´eterminer les classes d’´equivalence de P(E) pour la relation R dans les cas suivants : (a) M = {E}. [ S ] (b) ∅ ∈ M. [ S ] (c) M = {{x}}, o`u x ∈ E. [ S ] (d) M ⊃ {{x}, {y}}, o`u x, y sont deux ´el´ements distincts de E. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.