Probl`emes de Math´ematiques R´esolution it´erative d’un syst`eme lin´eaire ´Enonc´e R´esolution it´erative d’un syst`eme lin´eaire D’apr`es l’´epreuve de Maths 3 du concours E3A, option PC, ann´ee 1999 La lettre IK d´esigne IR ou lC. Un ´el´ement A de Mp,q(IK) est not´e A = (aij). On identifie les vecteurs de IKp et les matrices de Mp,1(IK). On rappelle que pour toute norme sur Mp,q(IK), lim n→+∞ An = B ⇔ lim n→+∞ ∥An − B∥ = 0. Les coefficients de la matrice limite B sont alors les limites des coefficients de la matrice An. Partie I 1. Montrer qu’on d´efinit une norme sur Mp,q(IK) en posant ∥A∥ = max 1≤i≤p q � j=1 ;;;aij;;; [ S ] 2. Montrer que si le produit AB est possible, ∥AB∥ ≤ ∥A∥ ∥B∥. [ S ] 3. Si A ∈ Mp(IK), on note (λi)1≤i≤p les valeurs propres de A dans lC et ρ(A) = max 1≤i≤p ;;;λi;;;. (a) Montrer que pour i dans {1, . . . , p} et k dans IN∗, ;;;λi;;;k ≤ ��Ak��. [ S ] (b) En d´eduire que si A est diagonalisable alors : lim k→+∞ Ak = 0 ⇔ ρ(A) < 1. [ S ] 4. Soient A une matrice inversible de Mp(IK) et b un ´el´ement de Mp,1(IK). On consid`ere une m´ethode de r´esolution approch´ee de l’´equation Ax = b , o`u b est donn´e et x est l’inconnue. On d´ecompose la matrice A sous la forme A = M − N, o`u M et N sont deux ´el´ements de Mp(IK) , avec M inversible et M −1N diagonalisable. On d´efinit une suite (x(n)) de Mp,1(IK) par : x(0) ∈ Mp,1(IK) et ∀n ∈ IN, x(n+1) = M −1Nx(n) + M −1b (a) Montrer que l’´equation Ax = b ´equivaut `a x = M −1Nx + M −1b. [ S ] (b) Exprimer x(n) en fonction de M, N, x(0) et de la solution x de l’´equation Ax = b. [ S ] (c) Donner une condition suffisante pour que la suite (x(n)) converge vers x. [ S ] Partie II Soit A ∈ Mp(IR) telle que � � � ∀i ∈ {1, . . . , p}, ai,i = 2 ∀i ∈ {2, . . . , p}, ai,i−1 = −1 ∀i ∈ {1, . . . , p − 1}, ai,i−1 = −1 , les autres coefficients ´etant nuls. 1. Ip d´esignant la matrice unit´e de Mp(IR), soit Dp = det(A − λIp). Trouver une relation entre Dp, Dp−1, Dp−2 et λ (on pose D0 = 1, et D1 = 2 − λ). [ S ] 2. La matrice A est-elle diagonalisable ? Que peut-on dire `a priori de ses valeurs propres ? [ S ] 3. Soit λ une valeur propre de la matrice A. Montrer que ;;;λ − 2;;; ≤ 2 en utilisant ∥A − 2Ip∥. [ S ] 4. On pose 2 − λ = 2 cos θ, avec 0 ≤ θ ≤ π. Calculer Dp en fonction de p et θ. Examiner les cas θ = 0 et θ = π. [ S ] 5. En d´eduire les valeurs propres de A. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.