Probl`emes de Math´ematiques Dual topologique d’un espace ℓp. Exemples de parties compactes de ℓ2 ´Enonc´e Dual topologique d’un espace ℓp. Exemples de parties compactes de ℓ2 Dans tout le probl`eme le corps de base des espaces vectoriels consid´er´es est C . Lorsque (E , ∥·∥) est un espace vectoriel norm´e, E′ d´esigne l’espace des formes lin´eaires continues sur (E , ∥ · ∥) . Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´esigne par B la boule ferm´ee unit´e de E , c’est `a dire l’ensemble des vecteurs x de E tels que ∥x∥ ⩽ 1 . Montrer que l’on d´efinit une norme ;;;∥ · ∥;;; sur E′ par la formule : ∀ x∗ ∈ E′ , ;;;∥x∗∥;;; = Sup x∈B ;;;x∗(x);;; . [ I ] [ S ] 2) Dans toute la suite on consid´erera l’espace norm´e (E′ , ;;;∥ · ∥;;;) qui sera simplement not´e E′ et appel´e dual topologique de E . a) Soit (x∗ n)n∈N une suite de Cauchy de E′. Montrer que pour chaque x fix´e dans E , la suite � x∗ n(x) � n∈N est convergente dans C . On associe ainsi, `a chaque x ∈ E , un unique complexe lim n→+∞ x∗ n(x) que l’on note x∗(x) . b) Montrer que l’application x∗ : E �−→ C d´efinie en a) est ´el´ement de E′. c) Montrer que lim n→+∞ ;;;∥x∗ n − x∗∥;;; = 0 . [ I ] [ S ] 3) ´Enoncer le r´esultat de port´ee g´en´erale d´emontr´e dans cette partie. Partie II Soit ℓ1 l’espace des suites (xn)n∈N telles que la s´erie � xn soit absolument convergente. On munit ℓ1 de la norme d´efinie par ∀ x∗ ∈ ℓ1 , ∥x∥1 = +∞ � n=0 ;;;xn;;; . Soit ℓ∞ l’espace des suites born´ees `a valeurs dans C , muni de la norme d´efinie par ∀ x∗ ∈ ℓ∞ , ∥x∥∞ = Sup n∈N ;;;xn;;; . On note C0 le sous-espace de ℓ∞ constitu´e des suites convergentes vers 0 et P l’ensemble des suites complexes nulles au del`a d’un certain rang. Pour n ∈ N on note δn l’´el´ement de P d´efini par δn = (δnk)n∈N o`u δnk = 1 si n = k et 0 si n ̸= k . [ I ] [ S ] 1) a) V´erifier les inclusions P ⊂ ℓ1 ⊂ C0 ⊂ ℓ∞. b) Comparer sur ℓ1 la norme ∥ · ∥1 avec la restriction de ∥ · ∥∞ `a ℓ1. c) Montrer que P est une partie dense de (ℓ1, ∥ · ∥1) . d) Montrer que P est une partie dense de (C0, ∥ · ∥∞). e) P est-elle une partie dense de (ℓ∞, ∥ · ∥∞) ? [ I ] [ S ] 2) Soit Φ : (ℓ1)′ �−→ ℓ∞ l’application d´efinie par ∀ x∗ ∈ (ℓ1)′, Φ(x∗) = � x∗(δn) � n∈N· a) V´erifier que l’application Φ est bien d´efinie, c’est `a dire que, pour tout x∗ ∈ (ℓ1)′, Φ(x∗) ∈ ℓ∞. Page 1 Michel Lepez www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.