Probl`emes de Math´ematiques Une famille d’arcs param´etr´es ´Enonc´e Une famille d’arcs param´etr´es Pour tout r´eel a, on consid`ere l’arc de R2 param´etr´e par x(t) = 1 t(t2 − 1) et ya(t) = t(t − a) t2 − 1 . On note Γa la courbe repr´esentative de cet arc. 1. Montrer que Γ−a se d´eduit de Γa par une transformation g´eom´etrique simple. Dans toute la suite, on se limitera donc `a la condition a ≥ 0. [ S ] 2. (a) Pr´eciser le domaine d’´etude de l’arc Γa. [ S ] (b) Indiquer les limites de t �→ x(t) et t �→ ya(t) aux bornes du domaine d’´etude. [ S ] (c) Pr´eciser le signe de x′(t) et y′(t) par intervalles. On sera notamment amen´e `a distinguer les cas a = 0, 0 < a < 1, a = 1 et a > 1. Si 0 < a < 1, on placera les racines t1 < t2 de y′(t) par rapport `a −1, 0, 1. [ S ] (d) Dresser les tableaux de variations des arcs Γa en discutant suivant les valeurs de a. On consid`erera les cas : a = 0, 0 < a < √ 3 2 , a = √ 3 2 , √ 3 2 < a < 1, a = 1, a > 1. [ S ] 3. Montrer que Γa admet un point stationnaire si a = √ 3 2 , pour la valeur t = √ 3 3 . ´Etudier la nature de ce point stationnaire. [ S ] 4. (a) Indiquer les asymptotes horizontales ou verticales ´eventuelles des courbes Γa. [ S ] (b) ´Etudier soigneusement l’asymptote oblique obtenue quand t tend vers 1. On pr´ecisera notamment le placement de la courbe par rapport `a cette asymptote, ce qui conduira `a consid´erer les cas 0 ≤ a < 3/4, a = 3/4 et a > 3/4. [ S ] (c) ´Etudier soigneusement l’asymptote oblique obtenue quand t tend vers −1. On pr´ecisera notamment le placement de la courbe par rapport `a cette aysmptote. [ S ] 5. (a) Montrer que Γa n’admet de point double que si a > √ 3 2 . [ S ] (b) Donner un param´etrage du lieu d´ecrit par ce point double quand a > √ 3 2 . [ S ] 6. (a) Montrer qu’une droite du plan rencontre Γa en au plus trois points. [ S ] (b) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante, portant les fonctions sym´etriques ´el´ementaires de t1, t2, t3, pour que M(t1), M(t2), M(t3) soient align´es sur Γa. [ S ] (c) On suppose que la tangente au point M(t) de Γa recoupe Γa en M(t′). Exprimer t′ en fonction de t. Que se passe-t-il si t = 1 2a ? [ S ] (d) D´eterminer combien chaque courbe Γa poss`ede de points d’inflexion. [ S ] 7. Tracer les courbes Γa quand a ∈ {0, 3 5, 3 4, 4 5, √ 3 2 , 12 13, 1, 2}. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.