Exercices de Math´ematiques Int´egrales et relation d’ordre ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E l’ensemble des applications continues de [a, b] dans IR+∗. Pour toute application f de E, on pose I(f) = � b a f(x) dx � b a 1 f(x) dx. 1. Montrer que pour toute f dans E, I(f) ≥ (b − a)2. Quand y-a-t-il ´egalit´e ? 2. Montrer plus pr´ecis´ement que {I(f), f ∈ E} = [(b − a)2, +∞[. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application [a, b] → IR, continue, telle que ���� � b a f(x) dx ���� = � b a ;;;f(x);;; dx. Montrer que f garde un signe constant sur [a, b]. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de classe C1 sur [a, b], et telle que f(a) = f(b) = 0. Montrer que � b a f 2(x) dx ≤ (b − a)2 8 � b a f ′2(x) dx. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que x > a > e2 ⇒ � x a dt ln t < 2x ln x. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que � π 2 0 sin x x dx > � π π 2 sin x x dx. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application continue et positive sur [a, b]. Montrer que lim n→+∞ n� In = max x∈[a,b] f(x), avec In = � b a f n(x) dx. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.