Exercices de Math´ematiques Int´egration sur un intervalle quelconque (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Apr`es avoir prouv´e son existence, calculer l’int´egrale I = � +∞ 0 ln x 1 + x2 dx. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Etudier l’existence de l’int´egrale I = � +∞ 0 dx xα(1 + xβ), avec (α, β) ∈ IR2. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Apr`es avoir prouv´e son existence, calculer l’int´egrale I = � +∞ 0 e−x − e−2x x dx. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Etudier l’existence de l’int´egrale I = � 1 0 ;;;1 − xα;;;β dx, avec (α, β) ∈ IR∗ × IR. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit la fonction Gamma d’Euler : Γ(x) = � +∞ 0 tx−1 e−t dt. 1. Pr´eciser le domaine de d´efinition de Γ. 2. Etablir la relation Γ(x + 1) = xΓ(x). En d´eduire Γ(n) pour tout n de IN∗. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.