Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes de Legendre sur [0,1], quadratures de Gauss ´Enonc´e Polynˆomes de Legendre sur [0,1], quadratures de Gauss On d´efinit les suites de polynˆomes (Un) et (Pn) de la mani`ere suivante : U0 = 1 ∀ n ≥ 1, Un = Xn(X − 1)n n! ∀ n ≥ 0, Pn = U (n) n 1. Quelques propri´et´es imm´ediates des polynˆomes Pn (a) Expliciter les polynˆomes P0, P1, P2, P3. [ S ] (b) Pour tout n de N, montrer que Pn(1 − X) = (−1)nPn(X). Qu’en d´eduit-on concernant la courbe repr´esentative de Pn ? [ S ] (c) Montrer que Pn est un polynˆome de degr´e n, `a coefficients entiers relatifs. Pr´eciser les coefficients dominant et constant de Pn, ainsi que Pn(1). [ S ] 2. Deux relations v´erifi´ees par les polynˆomes Pn. (a) V´erifier la relation (X2 − X)U ′ n = n(2X − 1)Un. En d´eduire que pour tout n de N, on a : (X2−X)P ′′ n +(2X−1)P ′ n−n(n+1)Pn = 0. [ S ] (b) V´erifier les relations U ′ n+1 = (2X − 1)Un et U ′′ n+1 = 2(2n + 1)Un + Un−1. En d´erivant n fois la premi`ere et n − 1 fois la seconde, prouver que : ∀ n ∈ N∗, (n + 1)Pn+1 − (2n + 1)(2X − 1)Pn + nPn−1 = 0. [ S ] 3. Propri´et´e int´egrale des polynˆomes Pn. (a) Soit n un entier naturel, et f : [0, 1] → R une application de classe Cn. En int´egrant par parties, montrer que � 1 0 Un(t)f (n)(t) dt = (−1)n � 1 0 Pn(t)f(t) dt. En d´eduire que : ∀ n ∈ N, ∀ Q ∈ R[X], deg(Q) < deg(P) ⇒ � 1 0 Pn(t)Q(t) dt = 0. [ S ] (b) Par des int´egrations par parties, calculer � 1 0 tn(t − 1)m dt, avec (m, n) ∈ N2. En d´eduire que pour tout entier n de N, on a � 1 0 Un(t) dt = (−1)nn! (2n + 1)! [ S ] (c) Prouver que pour tous entiers m et n : � 1 0 Pn(t)Pm(t) dt = 0 si m ̸= n, et � 1 0 P 2 n (t) dt = 1 2n + 1. [ S ] 4. Propri´et´e g´en´eratrice des polynˆomes Pn. (a) Pour tout P de Rn[X], montrer qu’il existe des r´eels λ0, . . . , λn tels que P = n� k=0 λkPk. Indication : raisonner par r´ecurrence sur n [ S ]. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.