Probl`emes de Math´ematiques Transformation de Laplace. ´Enonc´e Transformation de Laplace. Partie I. Notations et d´efinitions Soit f une application d´efinie sur R+, `a valeurs dans C, et continue. Pour tout r´eel p, on note fp l’application d´efinie sur R+ par fp(t) = e−ptf(t). On note I(f) l’ensemble des r´eels p tels que l’application fp soit born´ee sur R+. 1. (a) Montrer sur un exemple qu’on peut avoir I(f) = ∅, ou au contraire I(f) = R. [ S ] (b) Dans cette question, on suppose que f est une application polynomiale non nulle. Montrer que I(f) = R+∗ si f est non constante, et que I(f) = R+ sinon. [ S ] 2. Dans cette question, on suppose que I(f) est non vide. (a) Soit p dans I(f), et soit q > p. Montrer que lim +∞ fq = 0. En d´eduire que l’intervalle ]p, +∞[ est inclus dans I(f). [ S ] (b) En d´eduire que I(f) est un intervalle de l’un des types suivants : I(f) = ]α, +∞[ avec α ∈ R ∪ {−∞}, ou I(f) = [α, +∞[, avec α ∈ R. On dira alors que α est l’abscisse de f. On la notera αf ou α(f). Remarque : d’apr`es (1b), l’abscisse de toute fonction polynomiale est 0. [ S ] (c) Soit A une fonction polynomiale non nulle sur R+. Montrer que l’application g = Af a mˆeme abscisse que f. [ S ] 3. On note E l’ensemble des applications f : R+ → C, continues et telles que I(f) ̸= ∅. Soit f dans E. Montrer que si p > αf l’application fp est int´egrable sur R+. Pour tout r´eel p > αf, on pose alors L(f)(p) = � R+fp = � +∞ 0 e−ptf(t) dt. On d´efinit ainsi une application L(f) de ]αf, +∞[ dans C. On dit que L(f) est la transform´ee de Laplace de l’application f. [ S ] Partie II. Premiers exemples 1. Dans cette question, on voit un premier exemple important de transform´ee de Laplace. Soit ω un nombre complexe. Soit f l’application d´efinie sur R+ par f(t) = eωt. (a) Montrer que f est un ´el´ement de E et que son abscisse est αf = Re (ω). [ S ] (b) Montrer que L(f)(p) = 1 p − ω pour tout p > Re (ω). Pour exprimer ce r´esultat, on notera simplement L( eωt) = 1 p − ω, pour p > Re (ω). Si ω = 0, on constate donc que L(1) = 1 p, pour p > 0. [ S ] 2. (a) Soient f, g dans E. Soient λ, µ dans C. On pose h = λf + µg. Montrer que h est dans E et que L(h) = λL(f) + µL(g) sur ] max(αf, αg), +∞[. [ S ] (b) On consid`ere les quatre applications � t �→ sin t t �→ cos t , � t �→ sh t t �→ ch t , d´efinies sur R+. Montrer que ces applications sont dans E. Calculer leurs transform´ees de Laplace. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.