Probl`emes de Math´ematiques Nombres de Fibonacci ´Enonc´e Nombres de Fibonacci On d´efinit la suite u par : u0 = 0, u1 = 1, et ∀ n ≥ 0, un+2 = un+1 + un. Les un sont appel´es nombres de Fibonacci. Premi`ere partie 1. V´erifier que ∀ n ∈ IN∗, un > 0. 2. Montrer que la suite u est croissante, et mˆeme strictement croissante `a partir de n = 2. 3. Prouver que : ∀ n ≥ 6, un > n. On en d´eduit ´evidemment lim +∞ un = +∞. 4. Etablir que : ∀ n ∈ IN, n � k=0 uk = un+2 − 1. 5. Montrer que : ∀ n ∈ IN, n � k=0 u2 k = unun+1. 6. Prouver que : ∀ n ≥ 2, unun−2 − u2 n−1 = (−1)n−1 (relation de Simson) 7. Montrer que : ∀ n ∈ IN, pgcd(un, un+1) = 1 (on demande deux d´emonstrations) 8. Montrer que : ∀ n ≥ 2, un √ 2 < un+1 ≤ 2un. 9. Prouver que les longueurs des cot´es d’un vrai triangle rectangle ne peuvent ˆetre des nombres de Fibonacci. 10. On veut montrer que tout entier naturel peut s’´ecrire comme une somme de nombres de Fibonacci d’indices distincts (th´eor`eme de Hoggatt). (a) Montrer, par r´ecurrence sur n, que la propri´et´e est vraie pour les entiers strictement inf´erieurs `a un. (b) Conclure `a l’existence de cette d´ecomposition pour tout entier, puis `a son unicit´e. (c) D´ecomposer par exemple l’entier 1000000. 11. Prouver que : ∀ n ∈ IN∗, un = � 0≤k≤(n−1)/2 C k n−1−k . Comment les un se d´eduisent-ils du triangle de Pascal ? 12. On pose : v0 = a, v1 = b, et ∀ n ≥ 0, vn+2 = vn+1 + vn. Montrer que : ∀ n ≥ 0, vn = aun−1 + bun. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.