Probl`emes de Math´ematiques Quelques p´epites extraites du nombre d’or. ´Enonc´e Quelques p´epites extraites du nombre d’or. – On pose Φ = 1 + √ 5 2 ( c’est le nombre d’or) et �Φ = 1 − √ 5 2 . On observera que Φ et �Φ sont les solutions de x2 = x + 1, et que �Φ = − 1 Φ. – Pour tout r´eel x, on note [x] la partie enti`ere de x. Premi`ere partie 1. Pour tout n ≥ 1, on pose un = � 1 + � 1 + � 1 + · · · � 1 + √ 1 (o`u 1 apparaˆıt n fois). Montrer que la suite (un)n≥1 est convergente et que sa limite est ´egale `a Φ. [ S ] 2. On pose v1 = 1 et vn+1 = 1 + 1 vn pour n ≥ 1. En s’aidant de la suite de terme g´en´eral wn = vn − Φ vn − �Φ , montrer que lim n→∞ vn = Φ. [ S ] Deuxi`eme partie Dans cette partie, on ´etudie les relations entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci (Fn)n≥0. On rappelle que celle-ci est d´efinie par F0 = 0, F1 = 1, et Fn+2 = Fn+1 + Fn pour tout n ≥ 0. 1. Dans cette question, on ´etablit une expression de Fn en fonction Φn et de �Φn. (a) Montrer que pour tout n de N, on a : Fn = 1 √ 5(Φn − �Φn). [ S ] (b) En d´eduire que pour tout n de N, Fn est l’entier le plus proche de Φn √ 5. [ S ] 2. En utilisant Φ, on trouve ici des relations de r´ecurrence d’ordre 1 entre les Fn. (a) Montrer que pour n de N, on a Fn+1 = ΦFn + �Φn. [ S ] (b) Inversement, montrer que pour tout n de N, on Φn+1 = ΦFn+1 + Fn. [ S ] (c) Prouver que pour tout n ≥ 1, F2n = [ Φ F2n−1 ] et F2n+1 = [ Φ F2n ] + 1. [ S ] (d) D´eduire de (2a) que Fn+1 = [ ΦFn − �Φ ] pour tout n ≥ 2. [ S ] (e) Montrer que la suite de terme g´en´eral un = Fn+1 v´erifie : ∀ n ≥ 2, un+1 = [ Φun]. [ S ] 3. Dans cette question, on pose qn = Fn+1 Fn , pour tout n ≥ 1. (a) Montrer que la suite (qn)n≥1 converge vers Φ. [ S ] (b) Pour tout entier n ≥ 1, prouver qu’on a l’´egalit´e qn+1 − qn = (−1)n+1 FnFn+1 . [ S ] (c) ´Etablir que les suites (q2n)n≥1 et (q2n+1)n≥0 sont adjacentes. [ S ] (d) Calculer ∞ � n=1 (−1)n+1 FnFn+1 , c’est-`a-dire lim N→∞ N� n=1 (−1)n+1 FnFn+1 . [ S ] (e) En revenant aux notations de (I.2), montrer que qn = vn pour tout n de N∗. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.