Probl`emes de Math´ematiques Quelques in´egalit´es classiques. ´Enonc´e Quelques in´egalit´es classiques. Exercice 1 [ Corrig´e ] On se n r´eels a1, a2, . . . , an positifs ou nuls, avec n ≥ 2. Soit G = n√a1a2 . . . an (moyenne g´eom´etrique) et M = a1 + a2 + · · · + an n (moyenne arithm´etique.) Montrer l’in´egalit´e G ≤ M et pr´eciser quel est le cas d’´egalit´e. Indication : Noter Pn la propri´et´e Gn ≤ Mn, et v´erifier que P2 est vraie. Montrer ensuite l’implication (P2 et Pn) ⇒ P2n et l’implication Pn ⇒ Pn−1, et conclure. (L’id´ee de cette d´emonstration est attribu´ee `a Leonhard Euler.) Exercice 2 [ Corrig´e ] Soient X = (x1, . . . , xn) et Y = (y1, . . . , yn) deux ´el´ements de Rn, avec n ≥ 2. On pose X·Y = n� k=1 xkyk, ∥X∥ = √ X·X = � n� k=1 x2 k �1/2 et ∥Y ∥ = √ Y ·Y . L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz s’´ecrit ;;;X·Y ;;; ≤ ∥X∥ ∥Y ∥ (´egalit´e ⇔ X, Y proportionnels.) La m´ethode vue en cours utilise en g´en´eral la positivit´e de P(λ) = ∥X + λY ∥2 = n� k=1 (xk + λyk)2. On va maintenant voir trois autres d´emonstrations de cette in´egalit´e. 1. Montrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz par r´ecurrence simple. 2. On note Pn l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz au rang n. V´erifier P2. Montrer que Pn ⇒ P2n (pour n ≥ 2) et que Pn ⇒ Pn−1 (pour n ≥ 3) et conclure. 3. Prouver l’´egalit´e de Lagrange � 1≤j 0, on a ln x ≤ x − 1.) Quel est le cas d’´egalit´e ? Qu’obtient-on en posant pk = 1 n pour tout k ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.