Probl`emes de Math´ematiques Variations sur la fonction Partie Enti`ere ´Enonc´e Variations sur la fonction Partie Enti`ere Rappels et notations Les d´efinitions, notations et propri´et´es ci-dessous sont rappel´ees `a toutes fins utiles, et aucune d´emonstration n’est demand´ee. Dans ces notations, x est un r´eel quelconque. Sauf indication contraire, tous les entiers consid´er´es dans ce probl`eme sont des entiers relatifs. – On note ⌊x⌋ la partie enti`ere de x (ou encore l’entier “plancher” de x). C’est le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `a x. Il est donc caract´eris´e par ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1, c’est-`a-dire par x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x. – On note ⌈x⌉ l’entier “plafond” de x. C’est le plus petit entier sup´erieur ou ´egal `a x. Il est donc caract´eris´e par ⌈x⌉ − 1 < x ≤ ⌈x⌉, c’est-`a-dire par x ≤ ⌈x⌉ < x + 1. – Il est clair que les applications x �→ ⌊x⌋ et x �→ ⌈x⌉ sont croissantes au sens large. – Pour tout entier p, on a � ⌊x⌋ = p ⇔ x ∈ [p, p + 1[ ⌈x⌉ = p ⇔ x ∈ ]p − 1, p] et � ⌊x + p⌋ = ⌊x⌋ + p ⌈x + p⌉ = ⌈x⌉ + p ´Enonc´e du probl`eme 1. Pour tout r´eel x, v´erifier que ⌊−x⌋ = − ⌈x⌉ et que ⌈−x⌉ = − ⌊x⌋. [ S ] 2. Soit x un r´eel et p un entier. Montrer les ´equivalences suivantes : � x ≤ p ⇔ ⌈x⌉ ≤ p x < p ⇔ ⌊x⌋ + 1 ≤ p et � p ≤ x ⇔ p ≤ ⌊x⌋ p < x ⇔ p ≤ ⌈x⌉ − 1 [ S ] 3. On note N (I) le nombre d’entiers distincts appartenant `a un intervalle I de R. Soit x et y des r´eels, avec x < y. Calculer N (I) dans les cas suivants : I =]x, y[, I = [x, y[, I =]x, y], I = [x, y]. On exprimera les r´eponses en fonction d’un ou plusieurs des entiers ⌊x⌋ , ⌊y⌋ , ⌈x⌉ , ⌈y⌉. [ S ] 4. (a) Soit x un r´eel, et k, n deux entiers (n > 0). Prouver que �x + k n � = �⌊x⌋ + k n � . [ S ] (b) Montrer que x ∈ R+ ⇒ �� ⌈x⌉ � = ⌈√x⌉. [ S ] 5. Soit f : R �→ R une application continue et croissante (au sens large) sur R, et telle qu’on ait toujours l’implication f(x) ∈ Z ⇒ x ∈ Z. (a) Montrer que pour tout r´eel x, on a ⌊f(x)⌋ = ⌊f(⌊x⌋)⌋ [ S ] (b) Montrer que pour tout r´eel x, on a ⌈f(x)⌉ = ⌈f(⌈x⌉)⌉. On appr´eciera une d´emonstration qui ne serait trop proche de celle de 5.a... [ S ] (c) Retrouver ainsi les r´esultats des questions 4a et 4b. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.