Probl`emes de Math´ematiques Une ´etude de suite r´ecurrente ´Enonc´e Une ´etude de suite r´ecurrente On pourra admettre le r´esultat suivant (´egalit´e des accroissements finis) : Soit I un intervalle de R et soit f : I → R une application d´erivable. Soient x et y deux ´el´ements de l’intervalle I, avec x < y. Alors il existe un r´eel c dans ]x, y[ tel que f(y) − f(x) = (y − x)f′(c). Soit λ un nombre r´eel strictement positif. Soit f l’application d´efinie sur R par : f(x) = x + λ � 1 8 − x3� . Soit a un r´eel. On d´efinit une suite u par u0 = a et : ∀n ∈ N, un+1 = f(un). 1. (a) Si la suite u est convergente dans R, quelle est sa seule limite possible ? [ S ] (b) Montrer que pout tout x de R : x ≤ 1 2 ⇒ f(x) ≥ x et x ≥ 1 2 ⇒ f(x) ≤ x. [ S ] 2. Dans les questions 2, 3, 4, on suppose 0 < λ ≤ 4 7, et 0 ≤ a ≤ 1. (a) Montrer que 0 ≤ x ≤ 1 2 ⇒ f(x) ≤ 1 2 et que 1 2 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1 2 ≤ f(x). [ S ] (b) Pr´eciser la monotonie et la limite de la suite u, suivant les valeurs de a. [ S ] 3. (a) Montrer que si 1 2 ≤ x ≤ 1 alors a 0 ≤ f(x) − 1 2 ≤ � x − 1 2 � f′ � 1 2 � . [ S ] (b) En d´eduire que si 1 2 ≤ a ≤ 1 alors : ∀n ∈ N, 0 ≤ un − 1 2 ≤ 1 2 � 1 − 3 4λ �n. [ S ] 4. (a) Montrer que si 0 ≤ x ≤ 1 2 alors a 0 ≤ 1 2 − f(x) ≤ � 1 2 − x � f′(x). [ S ] (b) En d´eduire que si 0 ≤ a ≤ 1 2 alors : ∀n ∈ N∗, 0 ≤ 1 2 − un ≤ 1 2 � 1 − 3 64λ3�n−1. [ S ] 5. Dans cette question, on suppose que 4 7 < λ ≤ 8 7, et toujours 0 ≤ a ≤ 1. (a) Effectuer une ´etude soign´ee des variations de l’application f sur [0, 1]. On pr´ecisera notamment les r´eels β, γ tels que 1 2 < β < γ, f′(β) = 0 et f(γ) = 1 2. [ S ] (b) Montrer que tous les termes un de la suite u appartiennent au segment [0, 1]. [ S ] (c) ´Etudier la suite u suivant les valeurs de u0 = a. On pr´ecisera en particulier si la suite u est monotone, ´eventuellement `a partir d’un certain rang. [ S ] 6. Dans cette question, on suppose que 8 7 < λ < 4 3, et toujours 0 ≤ a ≤ 1. On pourra r´eutiliser les calculs de la question (5), et notamment les notations β et γ. (a) ´Etudier les variations de f sur le segment � −1 6, 1 � . On notera δ (sans chercher `a le calculer) le r´eel de ]γ, 1[ tel que f(δ) = 0. [ S ] (b) ´Etudier la suite u suivant les valeurs de u0 = a. [ S ] 7. En supposant toujours 0 ≤ a ≤ 1, ´etudier la suite u quand λ = 4 3. On illustrera graphiquement la convergence pour une valeur donn´ee de u0 = a. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.