Exercices de Math´ematiques Limites et continuit´e ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de R dans R. On suppose que f(1) = 1 et que : � Pour tout x ̸= 0, f(x) f � 1 x � = 1 (1) Pour tous r´eels x et y, f(x + y) = f(x) + f(y) (2). 1. Montrer que f est impaire. 2. Prouver que pour tout rationnel x, f(x) = x. 3. V´erifier que pour tout r´eel x, f(x2) = f(x)2. 4. En d´eduire que f est croissante. 5. Prouver finalement que pour tout r´eel x, f(x) = x. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application d´efinie sur R, continue, et telle que lim x→+∞(f(x + 1) − f(x)) = ℓ. Montrer que lim x→+∞ f(x) x = ℓ. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application continue de [a, b] dans R. On suppose que pour tout x de [a, b], il existe εx > 0 tel que f(x) = 1 2(f(x + εx) + f(x − εx)). Montrer que f est une application affine. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’il n’existe pas d’application continue f de R dans R telle que – L’image de tout rationnel est un irrationnel. – L’image de tout irrationnel est un rationnel. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit f : ]0, 1[→ R de la mani`ere suivante : – Si x est irrationnel, f(x) = 0. – Si x s’´ecrit p q (fraction irr´eductible), alors f(x) = 1 q. Montrer que f est continue sur les irrationnels et discontinue sur les rationnels. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.