Probl`emes de Math´ematiques Convergence simple ou uniforme d’une suite de fonctions ´Enonc´e Convergence simple ou uniforme d’une suite de fonctions – Soit I un intervalle de R, non vide et non r´eduit `a un point. Soit (fn) une suite d’applications de I dans R. Soit g une application de I dans R. – On dit que la suite (fn) est simplement convergente (cvs) vers g sur I si, pour tout x de I, la suite de terme g´en´eral fn(x) converge vers g(x). On dit alors que l’application g : I → R est la limite simple de la suite (fn). On peut donc ´ecrire : ∀ x ∈ I, ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N tel que ∀ n ≥ n0, ;;;fn(x) − g(x);;; ≤ ε. On notera que l’entier n0 est a priori fonction `a la fois de ε et de x. – On dit que (fn) est uniform´ement convergente (cvu) vers g sur I si lim n→∞ sup x∈I ;;;fn(x) − g(x);;; = 0. On dit que g : I → R est la limite uniforme de la suite (fn). On peut donc ´ecrire : ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N tel que : ∀ n ≥ n0, ∀ x ∈ I, ;;;fn(x) − g(x);;; ≤ ε. On notera que l’entier n0 est fonction seulement de ε. Il est clair que si la suite (fn) est cvu vers g sur I, alors elle est cvs vers g sur I. – Soit J un sous-intervalle de I. On dit que la suite (fn) converge simplement (resp. uniform´ement) sur J si la suite des restrictions des fn `a J est simplement (resp. uniform´ement) convergente. On dit que la suite (fn) est uniform´ement convergente sur tout compact si, pour tout segment [a, b] inclus dans I, la suite (fn) est uniform´ement convergente sur [a, b]. Premi`ere partie : quelques exemples 1. Etudier la cvs puis la cvu de la suite (fn) d´efinie sur I = [0, 1] par : fn(x) = xn. [ S ] 2. On consid`ere la suite (fn) d’applications d´efinies sur I = R+ par fn(x) = x n(1 + xn). Montrer que : ∀ x ∈ R+, ∀ n ∈ N∗, 0 ≤ fn(x) ≤ 1 n. Conclusion ? [ S ] 3. On consid`ere la suite (fn) d’applications d´efinies sur I = R par : fn(x) = cos nx n + 1. (a) Montrer que la suite (fn) est cvs sur R vers une application g que l’on pr´ecisera. [ S ] (b) Montrer que la convergence de la suite (fn) vers g est uniforme sur tout compact. [ S ] (c) Montrer qu’il n’y a pas cvu sur R (indication : consid´erer xn = (n + 1)π.) [ S ] 4. Soit (fn) la suite d’applications d´efinies sur I = R+ par fn(x) = nkx2 e−nx (k un r´eel donn´e.) (a) Montrer que la suite (fn) est cvs sur R+ vers la fonction nulle. [ S ] (b) ´Etudier les variations de fn sur R+. En d´eduire que la suite (fn) converge uniform´ement sur R+ si et seulement si k < 2. [ S ] (c) Montrer que si k ≥ 2, la suite (fn) est cvu sur tout intervalle [a, +∞[, avec a > 0. [ S ] 5. On d´efinit une suite de polynˆomes (Pn) par : P0 = 1 et ∀ n ∈ N, Pn+1 = Pn + 1 2 (x − P 2 n). (a) Montrer que Pn+1 − √x = (Pn − √x) � 1 − Pn + √x 2 � . [ S ] (b) Exprimer de mˆeme Pn+1 + √x en fonction de Pn + √x. [ S ] (c) Montrer que : ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1], √x ≤ Pn+1(x) ≤ Pn(x) ≤ 1. [ S ] (d) Montrer que la suite (Pn) est simplement convergente sur [0, 1] vers f : x → √x. [ S ] (e) Pr´eciser la monotonie des applications x �→ Pn(x) − √x et x �→ Pn(x) + √x. [ S ] (f) Montrer que la convergence de la suite (Pn) est uniforme sur [0, 1]. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.