Probl`emes de Math´ematiques Deux ´equations fonctionnelles ´Enonc´e Deux ´equations fonctionnelles Premi`ere partie On appelle F l’ensemble des applications continues de IR dans IR telles que : (1) ∀ x, y ∈ IR, f(x + y) + f(x − y) = 2(f(x) + f(y)) Soit f un ´el´ement de F. 1. Montrer que f(0) = 0, puis que f est paire. [ S ] 2. Soit a un r´eel fix´e. Montrer successivement : (a) ∀ n ∈ IN, f(na) = n2f(a) [ S ] (b) ∀ n ∈ ZZ, f(na) = n2f(a) [ S ] (c) ∀ q ∈ IN∗, f(a q ) = 1 q2f(a) [ S ] (d) ∀ r ∈ lQ, f(ra) = r2f(a) [ S ] (e) ∀ x ∈ IR, f(xa) = x2f(a) [ S ] 3. En d´eduire : ∃ λ ∈ IR tel que : ∀ x ∈ IR, f(x) = λx2. [ S ] 4. D´eterminer F. [ S ] Deuxi`eme partie On appelle G l’ensemble des applications continues de IR dans IR telles que : (2) ∀ x, y ∈ IR, g(x + y)g(x − y) = (g(x)g(y))2 Soit g un ´el´ement de G. 1. Quelles sont les valeurs possibles de g(0) ? Existe-t-il des ´el´ements de G r´ealisant ces diff´erentes possibilit´es ? [ S ] 2. Montrer que g(0) = 0 ⇔ g est identiquement nulle. [ S ] 3. Montrer que s’il existe un r´eel x de IR tel que g(x) = 0, alors g est identiquement nulle. Indication : Montrer que, pour tout entier n, g � x 2n � = 0. [ S ] 4. En d´eduire que si g n’est pas identiquement nulle, alors g(IR) ⊂ IR+∗ ou g(IR) ⊂ IR−∗. [ S ] 5. En utilisant ce qui pr´ec`ede, et la premi`ere partie, d´eterminer G. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.