Probl`emes de Math´ematiques Droites de meilleure approximation ´Enonc´e Droites de meilleure approximation Dans un plan rapport´e `a un rep`ere orthonormal, on consid`ere les trois points M1, M2, M3 de coor- donn´ees respectives (x1 = 0, y1 = 0), (x2 = 1, y2 = 1), (x3 = −2, y3 = 0). On va ´etudier par diff´erentes m´ethodes l’ajustement du “nuage” (M1, M2, M3) par une droite. On d´esigne par : – δ une direction donn´ee du plan. – D une droite non parall`ele `a δ, d’´equation y = ax + b. On projette les points M1, M2, M3 sur D dans la direction δ. On note respectivement m1, m2, m3 les points obtenus. 1. Dans cette question, la direction δ est celle de l’axe des ordonn´ees Oy. On cherche la droite D rendant minimale l’expression f(a, b) = M1m1 + M2m2 + M3m3. (a) Calculer les distances M1m1, M2m2, et M3m3. [ S ] (b) Dans cette question, le nombre r´eel b est fix´e. En discutant suivant b, ´etudier la fonction ϕ d´efinie par ϕ(x) = ;;;2x − b;;; + ;;;x + b − 1;;;. Montrer que l’application ϕ passe par un minimum pour x = b 2. [ S ] (c) En d´eduire l’existence et l’unicit´e d’un couple (a1, b1) minimisant f(a, b). Identifier la droite D d’´equation y1 = a1x + b1. [ S ] 2. Dans cette question, la direction δ est encore celle de l’axe des ordonn´ees. On cherche la droite D minimisant l’expression g(a, b) = max(M1m1, M2m2, M3m3). (a) On d´efinit les trois ensembles suivants : – l’ensemble E1 des points M(x, y) du plan tels que ;;;y;;; ≤ 1 3. – l’ensemble E2 des points M(x, y) du plan tels que ;;;y − 2x;;; ≤ 1 3. – l’ensemble E3 des points M(x, y) du plan tels que ;;;x + y − 1;;; ≤ 1 3. Montrer que leur intersection E1 ∩ E2 ∩ E3 se r´eduit au seul couple � 1 3, 1 3 � . [ S ] (b) Prouver l’existence et l’unicit´e d’une droite D minimisant g(a, b). [ S ] 3. Dans cette question, la direction δ est toujours celle de l’axe des ordonn´ees. On cherche la droite D rendant minimale h(a, b) = (M1m1)2 + (M2m2)2 + (M3m3)2. Le nombre r´eel a ´etant fix´e, montrer que la fonction b �→ h(a, b) admet un minimum en un point unique que l’on pr´ecisera. En d´eduire l’existence et l’unicit´e d’une droite D minimisant h(a, b). [ S ] 4. Dans cette question, λ est un nombre r´eel donn´e, dictinct de a. La direction δ est celle de la droite d’´equation y = λx. On cherche la droite D minimisant l’expression hλ(a, b) = (M1m1)2 + (M2m2)2 + (M3m3)2. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.