Probl`emes de Math´ematiques Une ´equation fonctionnelle. ´Enonc´e Une ´equation fonctionnelle. L’objet de ce probl`eme est de d´eterminer les applications f : R+ → R, continues sur R+ et de classe C1 sur R+∗, et qui v´erifient : ∀ x ≥ 0, f(x2) = f(x)2. Dans toute la suite, on suppose que f est une solution du probl`eme. 1. (a) Montrer que f(x) ≥ 0 pour tout x de R+. [ S ] (b) A quelle condition l’application f peut-elle ˆetre constante ? [ S ] 2. Soit a un ´el´ement de ]0, 1[. On pose un = f(a2n), pour tout n de N. (a) Montrer que la suite (un) est convergente et pr´eciser sa limite. [ S ] (b) Montrer que f(a) ≤ 1. [ S ] (c) Montrer que si f(a) = 1, alors f est constante sur [0, 1]. [ S ] (d) Que dire de f(a) si f n’est pas constante sur [0, 1] ? Que vaut alors f(0) ? [ S ] 3. Soit a un ´el´ement de R+∗. On pose vn = f(a2−n), pour tout n de N. (a) Montrer que la suite (vn) est convergente et pr´eciser sa limite. [ S ] (b) Montrer que si f(a) = 0, alors f est constante sur R+. [ S ] (c) On suppose que f n’est pas constante. Que vaut f(1) ? [ S ] 4. Dans cette question, on suppose que l’application f n’est pas constante. (a) Montrer que f ne s’annule pas sur R+∗. [ S ] (b) On d´efinit une application g sur R+∗ par : ∀ x > 0, g(x) = xf ′(x) f(x) . Exprimer g(x2) en fonction de g(x). [ S ] (c) Montrer que g est constante. [ S ] (d) En d´eduire toutes les solutions du probl`eme initial. Parmi ces solutions, quelles sont celles qui sont d´erivables `a droite en 0 ? [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.