Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes de Chebyshev et th´eor`eme de Weierstrass ´Enonc´e Polynˆomes de Chebyshev et th´eor`eme de Weierstrass Dans ce probl`eme on se propose d’´etablir le r´esultat suivant : Th´eor`eme de Weirstrass Soit f : [a, b] → IR une application continue. Pour tout ε > 0, il existe un polynˆome P tel que : ∀ x ∈ [a, b], ;;;f(x) − P(x);;; ≤ ε Ainsi toute application continue sur un segment peut ˆetre approch´ee uniform´ement sur ce segment `a moins de ε (o`u ε est un r´eel strictement positif quelconque) par un polynˆome. La premi`ere partie introduit les polynˆomes de Chebyshev Tn. La seconde partie propose une d´emonstration du th´eor`eme de Weierstrass utilisant les Tn. Partie I. Polynˆomes de Chebyshev Dans cette partie, n est un entier naturel non nul donn´e. Pour tout x de [−1, 1], on pose Tn(x) = cos(n arccos x). 1. (a) Expliciter Tn(x) si n = 1 ou n = 2. [ S ] (b) Montrer que pour tout x de [−1, 1], on a : Tn+2(x) = 2xTn+1(x) − Tn(x). [ S ] (c) Montrer que Tn est un polynˆome de degr´e n. Quel est son coefficient dominant ? [ S ] 2. (a) Montrer que Tn poss`ede n racines distinctes dans ]−1, 1[, que l’on calculera. On notera a1, . . . , an ces racines, avec 1 > a1 > a2 > · · · > an−1 > an > −1. [ S ] (b) Avec les notations pr´ec´edentes, calculer T ′ n(ak) et T ′′ n(ak) en fonction de k, n, ak. [ S ] (c) Pour tout k de {1, . . . , n}, on note Qk le polynˆome d´efini par Tn(x) = (x−ak)Qk(x). Calculer Qk(ak) et Q′ k(ak) en fonction de k, n, ak. [ S ] 3. Soit k un ´el´ement de {1, 2, . . . , n}. On rappelle que δj k = � 0 si j ̸= k 1 si j = k (a) Montrer qu’il existe un unique polynˆome Uk, de degr´e 2n − 1, tel que : ∀ j ∈ {1, . . . , n}, Uk(aj) = δj k et U ′ k(aj) = 0. Montrer plus pr´ecis´ement que ce polynˆome est donn´e par : Uk = 1 n2 (1 − akx) Q2 k. Indication : montrer que Uk, s’il existe, est n´ecessairement divisible par Q2 k. [ S ] (b) Montrer que Uk(x) ≥ 0 sur [−1, 1] et que n� k=1 Uk(x) = 1. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.