Probl`emes de Math´ematiques M´ethode de Simpson pour des int´egrales doubles ´Enonc´e M´ethode de Simpson pour des int´egrales doubles Soit f une application continue sur le segment [a, b]. La m´ethode de Simpson consiste `a prendre pour valeur approch´ee de l’int´egrale � b a f(t) dt la quantit´e b − a 6 � f(a) + 4f(a + b 2 ) + f(b) � . En g´en´eralisant cette id´ee, on se propose de calculer une valeur approch´ee de � � ∆ f(x, y) dx dy, o`u f est une application continue sur le rectangle ∆ = [a, A] × [b, B] et `a valeurs r´eelles. 1. On partage ∆ en quatre rectangles dont les sommets sont les neuf points Aij de coor- donn´ees xi = a+ih, yj = b+kj, o`u i et j variant de 0 `a 2, avec h = A − a 2 et k = B − b 2 . (a) En utilisant la m´ethode de Simpson pour calculer � B b f(x, y) dy et � A a f(x, yj) dx, montrer qu’on est conduit `a ´ecrire l’approximation : � � ∆ f(x, y) dx dy ≈ hk 9 2 � i=0 2 � j=0 λij f(xi, yj) o`u λij est l’´el´ement de la ligne i + 1 et de la colonne j + 1 de A = � � 1 4 1 4 16 4 1 4 1 � �. (b) Calculer la valeur exacte de I = � � ∆ dx dy 1 + y cos x, o`u ∆ d´esigne l’ensemble des points M de coordonn´ees x et y v´erifiant 0 ≤ x ≤ π 2 et 0 ≤ y ≤ 1 2. (c) Donner la valeur approch´ee de I obtenue `a l’aide de la formule vue en 1-a. (d) Pr´eciser pour cet exemple l’ordre de grandeur de l’erreur due `a la m´ethode. 2. On partage maintenant ∆ en 16 rectangles, en introduisant les points Aij = (xi, yj) tels que xi = a + ih, yj = b + jk avec h = A − a 4 et k = B − b 4 , o`u i et j varient de 0 `a 4. (a) Montrer qu’on est conduit `a l’approximation : � � ∆ f(x, y) dx dy ≈ hk 9 4 � i=0 4 � j=0 µijf(xi, yj) o`u µij est l’´el´ement de la ligne i + 1 et de la colonne j + 1 d’une matrice B, carr´ee d’ordre 4, que l’on pr´ecisera. (b) Appliquer cette approximation `a l’int´egrale I = � � ∆ dx dy 1 + y cos x. (c) Pr´eciser l’ordre de grandeur de l’erreur de m´ethode. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.