Probl`emes de Math´ematiques ´Etude d’une glace `a la vanille, `a la fraise, et aux smarties. ´Enonc´e ´Etude d’une glace `a la vanille, `a la fraise, et aux smarties. Ing´enieur(e) chez un fabricant de glaces, vous ˆetes charg´e(e) de concevoir un nouveau produit. Dans tout le probl`eme R3 est muni de sa structure euclidienne canonique. Vous allez effectuer une ´etude math´ematique d’une glace `a la vanille, `a la fraise, et aux smarties. Il est recommand´e d’accompagner les raisonnements d’une figure. 1. Soit R un r´eel strictement positif, et a un r´eel de l’intervalle [−R, R]. Soit D l’ensemble des points M(x, y, z) tels que x2 + y2 + z2 ≤ R2 et z ≥ a. D´eterminer le volume V du domaine D en fonction de R et de λ = a R. [ S ] 2. Dans toute la suite, α est un angle strictement compris entre 0 et π 2 . On consid`ere un cornet de glace C, repr´esent´e par un cˆone de r´evolution d’axe Oz, de sommet O, de demi-angle au sommet α, limit´e par les plans z = 0 et z = h > 0. Calculer le volume V ′ du cornet. [ S ] 3. On forme une glace en posant une boule de vanille, de rayon R, sur le cornet. Il est clair que suivant les valeurs de R, la boule repose sur le bord circulaire du cornet, ou s’appuie tangentiellement `a l’int´erieur de celui-ci. On sera donc amen´e `a discuter suivant les valeurs de la variable R, en fonction de h et α. (a) Pr´eciser les coordonn´ees du centre Ω de la boule de vanille. [ S ] (b) Donner le pourcentage pe de glace se trouvant `a l’ext´erieur du cornet. [ S ] (c) Pour quel R y a-t-il autant de glace `a l’int´erieur qu’`a l’ext´erieur du cornet ? [ S ] (d) S’il fait vraiment chaud, la boule de glace peut fondre compl`etement. Pour quelles valeurs de R la glace fondue tient-elle enti`erement dans le cornet ? [ S ] 4. Dans cette question, on suppose que la boule de glace repose sur le bord circulaire du cornet, et que les g´en´eratrices du cornet (les droites issues du sommet) sont tangentes `a la boule de glace tout le long du cercle de contact. (a) Avec ces nouvelles hypoth`eses, rappeler les r´esultats des questions (3a) et (3b). [ S ] (b) Pour quelles valeurs de α le cornet contient-il toute la glace fondue ? On donnera la r´eponse sous la forme α ≥ α0, avec une valeur approch´ee de α0. [ S ] (c) Pour vous d´emarquer de la concurrence, vous d´ecidez d’offrir en suppl´ement une petite boule de glace `a la fraise de rayon r, plac´ee dans le cornet de la fa¸con suivante : – Elle est situ´ee enti`erement `a l’int´erieur du cornet, et tangente `a celui-ci. – Elle est tangente `a la boule de glace `a la vanille. Calculer r en fonction de h et de α. Indiquer le rapport de volume de la glace `a la fraise sur la glace `a la vanille. [ S ] 5. Pour satisfaire une client`ele tr`es exigeante, vous avez une id´ee suppl´ementaire. A partir de la configuration vue en (4c) on ajoute un ou plusieurs smarties `a l’int´erieur du cornet, tous tangents `a la fois au cornet et aux deux boules de glace. Chaque smartie est assimil´e `a une boule de rayon ρ > 0. (a) Calculer le rayon d’un smartie, ainsi que la distance de son centre `a l’axe Oz. [ S ] (b) En fonction de α, combien de smarties peut-on ainsi ajouter entre les deux boules ? V´erifier que ce nombre est toujours compris entre 6 et 9. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.