Probl`emes de Math´ematiques Approximation d’une solution de f ′′(t) = a(t)f(t) + b(t) ´Enonc´e Approximation d’une solution de f ′′(t) = a(t)f(t) + b(t) On d´esigne par a : [0, 1] → IR et b : [0, 1] → IR deux applications continues. On suppose que l’application t �→ a(t) est `a valeurs positives ou nulles. Soient λ, µ deux r´eels. On consid`ere le probl`eme suivant : Trouver f : [0, 1] → IR deux fois d´erivable et telle que � ∀ t ∈ [0, 1], f ′′(t) = a(t)f(t) + b(t) f(0) = λ, f(1) = µ Il s’agit donc d’une ´equation diff´erentielle avec “conditions aux limites”. On suppose que ce probl`eme admet une solution, d´esign´ee par f dans toute la suite. On suppose que f est de classe C4 sur [0, 1]. On note M2(f) = sup [0,1] ;;;f ′′;;; et M4(f) = sup [0,1] ��f (4)��. L’objectif est ici d’´etudier une m´ethode d’approximation de f sur [0, 1]. Les parties I et II sont ind´ependantes. Premi`ere Partie 1. Soit g : [α, β] → IR une application de classe C2, avec α < β. On suppose que g(α) = 0 et que g(β) = 0. On pose M2(g) = sup [α,β] ;;;g′′;;;. (a) Montrer que : ∀ t ∈ [α, β], ;;;g(t);;; ≤ (t − α)(β − t) 2 M2(g). [ S ] (b) En d´eduire que : sup [α,β] ;;;g;;; ≤ (β − α)2 8 M2(g). [ S ] 2. On garde les notations pr´ec´edentes, mais on ne suppose plus g(α) = g(β) = 0. Prouver l’in´egalit´e : sup [α,β] ;;;g;;; ≤ (β − α)2 8 M2(g) + max(;;;g(α);;; , ;;;g(β);;;) [ S ] 3. On se donne n dans IN. On pose h = 1 n + 1, et ∀ k ∈ {0, . . . , n + 1}, tk = kh. Pour tout k de {0, . . . , n + 1}, soit uk une valeur approch´ee de f(tk). On note δn = max{;;;uk − f(tk);;; , 0 ≤ k ≤ n + 1}. δn repr´esente donc l’erreur maximum commise dans les approximations f(tk) ≈ uk. On d´efinit une application ϕn sur [0, 1] de la mani`ere suivante : ⋄ Pour tout k de {0, . . . , n + 1}, ϕn(tk) = uk. ⋄ Pour tout k de {0, . . . , n}, ϕn est affine sur [tk, tk+1]. Montrer que sup [0,1] ;;;f − ϕn;;; ≤ M2(f) 8(n + 1)2 + δn. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.