Probl`emes de Math´ematiques Deux ´etudes de familles de fonctions ´Enonc´e Deux ´etudes de familles de fonctions Probl`eme 1 Pour tout r´eel λ, on note fλ l’application d´efinie par fλ(x) = 4x λ + ln ��� x x − 4 ��� . On note Cλ la courbe repr´esentative de fλ. 1. (a) D´eterminer le domaine de d´efinition Dλ de fλ. Placer soigneusement, les uns par rapport aux autres, les r´eels de R \ Dλ. [ S ] (b) Montrer qu’on peut prolonger fλ par continuit´e aux points 0 et 4. Dans la suite, on supposera que fλ est ainsi prolong´ee. [ S ] 2. (a) ´Etudier la d´erivabilit´e de fλ en 0 et en 4 (on donnera l’allure de Cλ.) [ S ] (b) ´Etudier les asymptotes verticales de la courbe Cλ. [ S ] (c) ´Etudier l’application fλ au voisinage de ± ∞. On v´erifiera notamment que Cλ est asymptote `a une parabole quand λ = 0, et `a une droite quand λ ̸= 0. On pr´ecisera l’´equation de l’asymptote et le placement de la courbe par rapport `a celle-ci. [ S ] 3. (a) Etudier les variations de l’application gλ d´efinie par 4gλ(x) = � λ + ln ��� x x − 4 ��� �2 f′ λ(x). [ S ] (b) En discutant suivant λ, d´eterminer le signe de f′ λ par intervalles. En d´eduire les tableaux de variation de fλ dans les cas suivants : λ > 2, λ = 2, 0 < λ < 2, λ = 0, λ < 0. [ S ] (c) Construire les courbes pour λ = 3, λ = 2, λ = 1, λ = 0, λ = −2. [ S ] Probl`eme 2 Pour tout r´eel λ, on d´efinit l’application fλ par fλ(x) = (x − λ)x. On note Cλ la courbe repr´esentative de fλ. 1. Pr´eciser le domaine de d´efinition Dλ de fλ, ainsi que la limite ℓλ = lim x→λ+ fλ(x) dans R. [ S ] 2. Quand ℓλ est finie, ´etudier l’allure de Cλ au voisinage de (λ, ℓλ). [ S ] 3. On note uλ l’application d´efinie sur Dλ par f′ λ(x) = uλ(x)fλ(x). (a) Si λ < 0, montrer que uλ ne s’annule qu’une seule fois. En d´eduire le tableau des variations de fλ dans ce cas. [ S ] (b) Etudier les variations de fλ quand λ = 0. [ S ] 4. (a) Etudier les variations de uλ quand λ > 0. En d´eduire que : – Si λ > e−2, alors uλ(x) > 0 pour tout x de Dλ. – Si λ = e−2, alors uλ(x) ≥ 0 sur Dλ et ne s’annule qu’en un seul point. – Si 0 < λ < e−2, alors uλ(x) s’annule en µ1, µ2, avec λ < µ1 < 2λ < µ2. [ S ] (b) En d´eduire les diff´erents tableaux de variations possibles pour fλ quand λ > 0. [ S ] 5. ´Etudier le placement respectif des courbes y = fλ1(x) et y = fλ2(x), avec λ1 < λ2. [ S ] 6. Construire sur un mˆeme graphique les repr´esentations graphiques des applications fλ pour cha- cun des cas rencontr´es dans ce probl`eme. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.