Probl`emes de Math´ematiques Approximations de π `a l’aide de d´eveloppements limit´es ´Enonc´e Approximations de π `a l’aide de d´eveloppements limit´es Au dix-septi`eme si`ecle, des math´ematiciens comme Huyghens et Snellius entreprirent de cal- culer des valeurs d´ecimales approch´ees de π par des m´ethodes trigonom´etriques ´el´ementaires. Il s’agissait d’am´eliorer la double in´egalit´e classique sin x < x < tan x valable sur ]0, π 2[ en introduisant des fonctions : – Qui s’expriment simplement `a l’aide des fonctions trigonom´etriques usuelles. – Peu diff´erentes de x au voisinage de 0. Les fonctions f1 et f4 de l’´enonc´e sont celles de Snellius ; f2 et f3 sont celles de Huyghens. 1. Soient a, b des r´eels positifs ou nuls. On pose m(a, b) = 2a+b 3 et g(a, b) = 3√ a2b. Comparer m(a, b) et g(a, b). [ S ] 2. Dans toute la suite, on d´efinit les fonctions suivantes sur ]−π 2, π 2[ : f1(x) = 3 sin x 2+cos x, f2(x) = 1 3 � 8 sin x 2 − sin x � f3(x) = 3√ sin2 x tan x, f4(x) = 1 3 (2 sin x + tan x) Calculer les d´eveloppements limit´es en 0 de ces fonctions, `a l’ordre 5. En d´eduire l’existence de η > 0 tel que : ∀ x ∈]0, η[, f1(x) < f2(x) < x < f3(x) < f4(x). [ S ] 3. On suppose ici que x appartient `a I = ]0, π 2[. Quel est le signe de f4(x) − f3(x) ? [ S ] 4. On pose u(x) = 3(2 + cos x)(f2(x) − f1(x)). Lin´eariser u(x). Montrer que u′(x) = P(cos x 2), o`u P est un polynˆome de degr´e 4. Factoriser P. En d´eduire, pour x dans I, le signe de u′(x) puis celui de f2(x) − f1(x). [ S ] 5. On pose v(x) = x − f2(x). Montrer que v′(x) = Q(cos x 2), o`u Q est un polynˆome. En d´eduire, pour x dans I, le signe de v′(x) puis celui de v(x). [ S ] 6. On pose w(x) = f3(x) − x. Calculer et factoriser w′(x). En d´eduire, pour x dans I, le signe de w(x). Quelle suite d’in´egalit´es les questions 3 `a 6 permettent-elles d’obtenir sur I ? [ S ] 7. Seules les valeurs des fonctions trigonom´etriques de π 4 et π 6 sont suppos´ees connues. Calculer des expressions simples de cos π 12, sin π 12 et tan π 12. Faire de mˆeme avec sin π 24 `a l’aide de radicaux superpos´es. Calculer les expressions par radicaux de X = 12f2( π 12) et de Y = 12f3( π 12). En d´eduire un encadrement de π. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.