Probl`emes de Math´ematiques D´eriv´ees successives de exp � −1 x � ´Enonc´e D´eriv´ees successives de exp(−1 x) Le probl`eme est constitu´e de deux parties ind´ependantes. On d´efinit une fonction f par : f(x) = exp � −1 x � si x ̸= 0 et f(0) = 0. PREMI`ERE PARTIE 1. Etudier les variations de f et construire son graphe Γ dans un rep`ere orthonorm´e. On pr´ecisera le point d’inflexion I et la demi-tangente au point d’arrˆet. [ S ] 2. (a) D´eterminer le point A de Γ, distinct de O, en lequel la tangente `a Γ passe par O. [ S ] (b) Montrer qu’il existe deux points de Γ, distincts de A, et deux seulement, en lesquels la tangente `a Γ est parall`ele `a OA. On notera α et β (α < β) les abscisses de ces points (qu’on ne demande pas de calculer). [ S ] 3. On d´efinit une fonction g sur IR par g(x) = 1 1 − 2 ln ;;;x;;; si x ̸= 0 et g(0) = 0. (a) Etudier les variations et tracer le graphe C de g dans un rep`ere orthonorm´e (unit´e 2cm). On pr´ecisera la concavit´e de C. [ S ] (b) Montrer que g(x) = x ⇔ x ∈ {α, β, 0, 1}. [ S ] (c) Etudier g(x) − x sur [0, 1]. En d´eduire : ∀ x ∈]0, β[, x < g(x) < β, et ∀ x ∈]β, 1[, β < g(x) < x. [ S ] (d) On d´efinit la suite (un)n≥0 par 0 < u0 < 1 et ∀ n ∈ IN, un+1 = g(un). Montrer qu’elle converge vers β. [ S ] (e) Calculer β `a 10−2 pr`es, avec successivement u0 = 0, 2 et u0 = 0, 4 (on fera figurer les r´esultats interm´ediaires). [ S ] (f) Montrer que −2, 10 < α < −2, 09. [ S ] DEUXI`EME PARTIE 1. Montrer qu’il existe une suite (Pn) de polynˆomes telle que : ∀ n ∈ IN, ∀ x ∈ IR+∗, f (n)(x) = Pn(x)x−2n exp � −1 x � , la suite (Pn) v´erifiant la relation de r´ecurrence : ∀ n ∈ IN, ∀ x ∈ IR, Pn+1(x) = x2P ′ n(x) − (2nx − 1)Pn(x). [ S ] 2. Expliciter P1 et P2. [ S ] 3. D´eterminer le terme de plus haut degr´e de Pn, ainsi que son terme constant. [ S ] 4. Dans cette question on trouve une relation de r´ecurrence entre les Pn. (a) Montrer que ∀ x ∈ IR∗, x2f ′(x) = f(x). [ S ] (b) En appliquant la formule de Leibniz `a cette relation, prouver que : ∀ n ∈ IN∗, ∀ x ∈ IR, Pn+1(x) + (2nx − 1)Pn(x) + n(n − 1)x2Pn−1(x) = 0. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.