Probl`emes de Math´ematiques Une ´equation fonctionnelle ´Enonc´e Une ´equation fonctionnelle On cherche les applications f : IR → IR, ayant en 0 une d´eriv´ee f ′(0) = a > 0, et telles que : ∀ x, y ∈ IR (avec xy + 1 ̸= 0) : f(x)f(y) = f � x + y 1 + xy � (1) Dans les questions 1 `a 10, on suppose l’existence d’une solution f `a ce probl`eme. 1. Montrer que f(−1) = f(1) = 0 et f(0) = 1. [ I ] [ S ] 2. Montrer que f ne s’annule qu’aux points −1 et 1. [ I ] [ S ] 3. Montrer que : ∀ t ∈] − 1, 1[ f(t) > 0. [ I ] [ S ] 4. Soit x1 un r´eel distinct de −1, 0, et 1. Soit M(x1) = ���x1 − 1 x1 ��� > 0. (a) Montrer que si ;;;h;;; < M(x1), alors l’´equation x1 + y 1 + x1y = x1 + h (o`u y est l’inconnue) admet une solution yh. [ I ] [ S ] (b) En d´eduire que f est d´erivable en x1 et que f ′(x1) = a f(x1) 1 − x2 1 . [ I ] [ S ] 5. Montrer que, ∀ x ∈] − 1, 1[, f(x) = �1 + x 1 − x �a/2 . [ I ] [ S ] 6. Montrer que f a un signe constant sur ]1, +∞[, et un signe constant sur ]−∞, −1[. [ I ] [ S ] 7. Montrer que f garde un signe constant ε sur ] − ∞, −1[∪ ] 1, +∞[. [ I ] [ S ] 8. Montrer que pour tous r´eels x et y tels que xy ̸= −1 : (a) (;;;x;;; < 1 et ;;;y;;; < 1) ou (;;;x;;; > 1 et ;;;y;;; > 1) ⇒ ���� x + y 1 + xy ���� < 1. (b) (;;;x;;; < 1 et ;;;y;;; > 1) ou (;;;x;;; > 1 et ;;;y;;; < 1) ⇒ ���� x + y 1 + xy ���� > 1. [ I ] [ S ] 9. En d´eduire que l’application g d´efinie sur IR par : � ∀ x ∈ [−1, 1], g(x) = f(x) ∀ x /∈ [−1, 1], g(x) = −f(x) est en- core une solution du probl`eme (ce qui prouve que ε peut ˆetre choisi arbitrairement). [ I ] [ S ] 10. On suppose que “ε = +”. Montrer que : ∀ x ̸= 1, f(x) = ���1 + x 1 − x ��� a/2 . [ I ] [ S ] 11. R´eciproquement, montrer qu’une telle application (en posant en outre f(1) = 0), est bien une solution du probl`eme. [ I ] [ S ] 12. Donner toutes les solutions du probl`eme. [ I ] [ S ] 13. En se limitant `a “ε = +”, tracer les courbes repr´esentatives correspondant `a chacun des cas possibles (trois courbes). [ I ] [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.