Probl`emes de Math´ematiques Variations sur la m´ethode de Newton ´Enonc´e Variations sur la m´ethode de Newton I. M´ethode de Newton Soit g une application d´efinie sur un segment [a, b] (avec a < b) et `a valeurs dans R. On suppose en outre que g([a, b]) ⊂ [a, b] : le segment [a, b] est donc stable par g. 1. On suppose que g est continue sur [a, b]. Montrer que l’´equation (E) : g(x) = x poss`ede au moins une solution sur [a, b]. [ S ] 2. On suppose que g est k-lipschitzienne sur [a, b], avec 0 ≤ k < 1. Montrer que l’´equation (E) poss`ede une solution unique α sur [a, b]. [ S ] 3. On garde les hypoth`eses de la question pr´ec´edente. On se donne un r´eel x0 dans [a, b]. On d´efinit alors une suite (xn) de [a, b] en posant : ∀ n ≥ 0, xn+1 = g(xn). Montrer que pour tout n de N, on a ;;;xn − α;;; ≤ kn ;;;x0 − α;;;. Conclusion ? [ S ] 4. On suppose maintenant que g est de classe C1 sur [a, b] et que : ∀ x ∈ [a, b], ;;;g′(x);;; < 1. Montrer qu’on peut conclure comme dans les questions 2 et 3. [ S ] 5. On reprend les hypoth`eses de I.4, et les notations de I.3. On suppose que (xn)n≥0 n’est pas stationnaire en α. Montrer que lim n→∞ α − xn+1 α − xn = g′(α). [ S ] 6. On suppose ici que g est d´efinie et de classe C1 sur un intervalle ouvert I de R. On suppose qu’il existe α dans I tel que g(α) = α et ;;;g′(α);;; < 1. Montrer qu’il existe δ > 0 tel qu’on puisse appliquer les r´esultats pr´ec´edents sur le segment [ α − δ, α + δ ]. [ S ] 7. Soit f une application de classe C2 sur un intervalle ouvert I, `a valeurs r´eelles. On suppose qu’il existe α dans I tel que f(α) = 0. On suppose que f′ ne s’annule pas sur I et on pose : ∀ x ∈ I, g(x) = x − f(x) f′(x). (a) Montrer qu’il existe δ > 0 tel que si on se donne x0 dans J = [ α − δ, α + δ], et si on d´efinit xn+1 = g(xn) pour tout n, alors la suite (xn) converge vers α. [ S ] (b) Montrer qu’il existe K > 0 tel que ;;;xn+1 − α;;; ≤ K ;;;xn − α;;;2 pour tout n de N. Indication : appliquer une in´egalit´e de Taylor-Lagrange `a f sur le segment [xn, α]. [ S ] 8. On garde les hypoth`eses et les notations de la question 7. La m´ethode de Newton consiste en la mise en place de la suite (xn) pour approcher la racine α de f sur I. On vient de voir que la suite (xn) converge vers α si x0 est “assez pr`es” de α. On ´etudie ici, sur deux exemples, le comportement de la suite (xn) si x0 est choisi de fa¸con quelconque dans I. (a) Indiquer comme le point xn+1 se d´eduit, graphiquement, du point xn. [ S ] (b) On suppose que f est convexe sur I = R. Montrer que la suite (xn) a la monotonie contraire de celle de f (`a partir de x1) et qu’elle converge vers α (quel que soit x0.) Pr´eciser rapidement ce qu’il en est si f est concave. [ S ] (c) On suppose par exemple I = R et f(x) = arctan x. Dans ces conditions α = 0. Justifier l’existence et l’unicit´e de a > 0 tel que g(a) = −a. En consid´erant l’application g ◦ g, montrer alors que : – Si ;;;x0;;; < a, la suite (xn) converge vers 0. – Si ;;;x0;;; = a, la suite (xn) est 2-p´eriodique, ne prenant que les valeurs a et −a. – Si ;;;x0;;; > a, la suite (xn) est divergente. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.