Probl`emes de Math´ematiques Calculs d’int´egrales ´Enonc´e Calculs d’int´egrales L’objet de ce probl`eme est l’´etude des int´egrales � ∞ 0 sin t t dt, � ∞ 0 ;;;sin t;;; t dt et � ∞ 0 �sin t t �n dt Premi`ere partie Dans cette partie, on calcule la valeur de l’int´egrale impropre � ∞ 0 sin t t dt. 1. Pour tout r´eel positif x, on pose F(x) = � x 0 sin t t dt. Par une int´egration par partie, montrer que lim x→+∞ F(x) existe dans IR. 2. Pour tout entier n de IN, on pose Jn = � π/2 0 sin(2n + 1)t sin t dt. Calculer les int´egrales Jn. 3. On d´efinit l’application ϕ sur � 0, π 2 � par ϕ(t) = 1 t − 1 sin t. Montrer que ϕ se prolonge en une application de classe C1 sur � 0, π 2 � . On notera encore ϕ ce prolongment.) 4. Pour tout entier n de IN, on pose In = � π/2 0 sin(2n + 1)t t dt. En consid´erant la diff´erence In − Jn, montrer que lim n→+∞ In = π 2 . 5. En d´eduire que � +∞ 0 sin t t dt = π 2 . Deuxi`eme partie Dans cette partie, on montre que l’application x �→ sin t t n’est pas int´egrable sur IR+. Pour tout r´eel positif x, on pose G(x) = � x 0 ;;;sin t;;; t dt. 1. Montrer que pour tout n de IN, G((n + 1)π) − G(nπ) ≥ 2 (n + 1)π. 2. En d´eduire que lim x→+∞ G(x) = +∞ et conclure. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.