Probl`emes de Math´ematiques Etude d’int´egrales `a param`etres ´Enonc´e Etude d’int´egrales `a param`etres (D’apr`es le concours Ecrin 1997, Maths1, Option MP) Notations : on d´esigne respectivement par : – J l’intervalle ] − 1, +∞[ et F l’ensemble des fonctions de J dans IR. – B l’ensemble des fonctions continues et born´ees sur IR+ = [0, +∞[, `a valeurs r´eelles. – E l’ensemble des fonctions continues f : IR+→IR telles que t�→ f(t) 1 + t2 soit int´egrable sur IR+. – Si f est int´egrable sur un intervalle I, on note � I f ou � I f(t) dt l’int´egrale de f sur I. Objet du probl`eme : – Dans la partie I, on d´efinit une application lin´eaire T : f → T[f] sur E. – Dans la partie II, on ´etudie certaines propri´et´es des fonctions T[f] li´ees `a la d´erivation. – Dans la partie III, on ´etudie l’injectivit´e de T. – Dans la partie IV, on ´etudie un cas particulier et on calcule certaines int´egrales. Partie I 1. Prouver que E est un espace vectoriel sur IR et qu’il contient B. 2. V´erifier que l’application γ : t �→ √ t sin t est ´el´ement de E, mais n’appartient pas `a B. Ainsi un ´el´ement f de E n’est pas forc´ement de signe constant, ni born´e sur [0, +∞[. 3. Montrer que pour tous f de E et x de J la fonction t �→ f(t) 1 + t2 + x est int´egrable sur IR+. Notation : pour tout f de E, on note T[f] : J → IR d´efinie par : T[f](x) = � IR+ f(t) 1 + t2 + x dt 4. Montrer que l’application T : f �→ T[f] est lin´eaire de E dans F. Partie II Dans cette partie, f d´esigne un ´el´ement fix´e de E. 1. Prouver que T[f] est C1 sur J et ∀x ∈ J, (T[f])′(x) = − � IR+ f(t) (1 + t2 + x)2 dt (1) 2. (a) Prouver plus g´en´eralement que T[f] est d´erivable `a tout ordre p sur J. Exprimer (T[f])(p)(x) `a l’aide de l’int´egrale Fp(x) = � IR+ f(t) (1 + t2 + x)p+1 dt. (b) Qu’obtient-on pour x = 0 ? Dans la suite on note, pour tout entier naturel p : Ip = � IR+ f(t) (1 + t2)p+1 dt. 3. (a) V´erifier que, pour tout p de IN, on a : � IR+ ;;;f(t);;; (1 + t2)p+1 dt ≤ � IR+ ;;;f(t);;; (1 + t2) dt (2) (b) Montrer que pour tout r´eel x de ] − 1, 1[, on a : T[f](x) = ∞ � p=0 (−1)pIpxp (3) (c) L’application T est-elle surjective de E dans C∞(J, IR) ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.