Probl`emes de Math´ematiques ´Etude et calcul des int´egrales � +∞ 0 �sin x x �n dx ´Enonc´e ´Etude et calcul des int´egrales � +∞ 0 �sin x x �n dx I. Existence de � +∞ 0 sin x x dx = lim a→+∞ � a 0 sin x x dx. Dans cette partie, on note ϕ l’application d´efinie sur R+∗ par ϕ(x) = sin x x . 1. (a) Montrer que � (k+1)π kπ ;;;ϕ(x);;; dx ≥ 2 (k + 1)π pour tout k de N. [ S ] (b) En d´eduire que ϕ n’est pas int´egrable sur R+ (on rappelle que lim n→+∞ n� k=1 1 k = +∞.) [ S ] 2. (a) Montrer que l’application ψ : x �→ 1 − cos x x2 est int´egrable sur R+. [ S ] (b) Pour tout a > 0, montrer que � a 0 ϕ(x) dx = a ψ(a) + � a 0 ψ(x) dx. [ S ] (c) En d´eduire que lim a→+∞ � a 0 ϕ(x) dx existe dans R. Cette limite est encore not´ee � +∞ 0 sin x x dx bien que ϕ soit non int´egrable sur R+. [ S ] II. Calcul de l’int´egrale � +∞ 0 sin x x dx 1. Soit f une application de classe C1 sur un segment [a, b], avec a < b. Montrer que lim n→+∞ � b a f(x) sin nx dx = 0. [ S ] 2. Soit f l’application d´efinie sur � 0, π 2 � par f(x) = 1 x − 1 sin x. Montrer que f se prolonge en une application de classe C1 sur le segment � 0, π 2 � . Dans la suite de cette partie, ce prolongement sera encore not´e f. [ S ] 3. Pour tout entier naturel, calculer Jn = � π/2 0 sin(2n+1)x sin x dx. [ S ] 4. On pose Kn = � π/2 0 sin(2n + 1)x x dx. Montrer que lim n→+∞ Kn = � +∞ 0 sin x x dx. [ S ] 5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que � +∞ 0 sin x x dx = π 2 . [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.