Probl`emes de Math´ematiques Une int´egrale d´ependant d’un param`etre ´Enonc´e Une int´egrale d´ependant d’un param`etre Dans ce probl`eme, on ´etudie l’int´egrale F(α) = � +∞ 0 dt 1 + tα , o`u α est un r´eel. Premi`ere partie 1. Montrer que l’application F est d´efinie et positive sur I = ] 1, +∞ [. [ S ] 2. Calculer F(2), F(3), F(3 2). [ S ] 3. Pour tout α de I, montrer que F(α) = � 1 0 1 + tα−2 1 + tα dt. [ S ] 4. Montrer que l’application α → F(α) est convexe sur I. Indication : pour t fix´e dans ]0, 1], consid´erer l’application ht : α �→ 1 + tα−2 1 + tα . [ S ] Deuxi`eme partie Dans cette partie, on se donne deux entiers n et p strictement positifs, avec p < 2n. Pour tout entier k de {1, . . . , 2n}, on note θk = 2k − 1 2n π. 1. Pour tout r´eel θ de ] 0, π [, calculer les sommes suivantes : Cn(θ) = n� k=1 cos(2k − 1)θ, Sn(θ) = n� k=1 sin(2k − 1)θ et Dn(θ) = n� k=1 (2k − 1) sin(2k − 1)θ. [ S ] 2. Montrer que la fraction rationnelle R(x) = p xp−1 x2n + 1 se d´ecompose en R(x) = p n n� k=1 Rk(x), avec Rk(x) = akx + bk x2 − 2x cos θk + 1. D´eterminer ak, bk et prouver l’´egalit´e n� k=1 ak = 0. [ S ] 3. Pour tout k de {1, . . . , n}, soit Sk la primitive de Rk qui s’annule en 0. Montrer que : Sk(x) = ak 2 ln � x2 − 2x cos θk + 1 � + sin(p θk) arctan �x − cos θk sin θk � + �π 2 − θk � sin(p θk). [ S ] 4. Montrer que si α = 2n p , alors F(α) = � +∞ 0 R(t) dt. En d´eduire F(α) = π α sin π α . [ S ] 5. On suppose que α est quelconque dans I. Montrer que F(α) = π α sin π α . [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.