Cours de Math´ematiques Fonctions de deux ou trois variables Sommaire Fonctions de deux ou trois variables Sommaire I Topologie de RxR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 Normes sur RxR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Boules ouvertes ou ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Suites d’´el´ements de RxR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Parties ouvertes ou ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II Limites et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.1 Applications partielles, applications composantes . . . . . . . . . . . . 8 II.2 Limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.3 Continuit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.4 Continuit´e sur un domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.5 Continuit´e uniforme, applications lispchitziennes . . . . . . . . . . . . 15 III Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.2 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.3 Une difficult´e de notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 III.4 Applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III.5 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 III.6 Diff´erentielle d’une application de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . 24 III.7 Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 IV Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV.1 Composition d’applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV.2 Diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 IV.3 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 IV.4 Passage en coordonn´ees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 V Extension aux fonctions de trois variables . . . . . . . . . . . . . . . 41 V.1 Topologie de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 V.2 Applications composantes et applications partielles . . . . . . . . . . . 41 V.3 Continuit´e, d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 V.4 Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 V.5 Passage en coordonn´ees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 V.6 Passage en coordonn´ees sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.