Probl`emes de Math´ematiques Quelques propri´et´es des fonctions harmoniques `a deux variables ´Enonc´e Quelques propri´et´es des fonctions harmoniques `a deux variables Dans ce probl`eme, Ω est un ouvert non vide de R2. Pour k dans N, on note Ck(Ω, R) l’alg`ebre des applications de classe Ck de Ω dans R. Soit f dans C2(Ω, R). Le laplacien de f est l’application de Ω dans R d´efinie par : ∆(f) = ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 . f est dite harmonique si ∆f ≡ 0. On note H(Ω, R) l’ensemble des fonctions harmoniques sur Ω. I. Question de cours : le laplacien en polaires Soit ϕ : R2 → R d´efinie par ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ). On pose � U = {(ρ, θ), ρ > 0, −π < θ < π} Ω = R2 \ {(x, 0), x ≤ 0} Soit f une application d´efinie sur Ω, `a valeurs dans R. Soit F d´efinie sur U par F = f ◦ ϕ. Pour tout point (x, y) de Ω, on a donc f(x, y) = F(ρ, θ) avec (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ). 1. Montrer que ϕ est un diff´eomorphisme de classe C∞ de U sur Ω. Pr´eciser ϕ−1. [ S ] 2. On suppose que f est de classe C1 sur Ω. L’application F est donc de classe C1 sur U. Exprimer les d´eriv´ees partielles premi`eres de f en fonction de celles de F. [ S ] 3. On suppose que f est de classe C2 sur Ω. L’application F est donc de classe C2 sur U. Exprimer ∆f en fonction des d´eriv´ees partielles premi`eres et secondes de F. [ S ] II. Quelques exemples de fonctions harmoniques Dans le reste du probl`eme, il est demand´e de ne pas chercher `a utiliser les r´esultats de la partie I. 1. Dans cette question, Ω d´esigne l’ouvert R∗ × R. (a) Montrer que l’application f : (x, y) �→ arctan(y/x) est harmonique sur Ω. [ S ] (b) R´eciproquement, d´eterminer les applications f de H(Ω, R) pour lesquelles il existe une application ϕ : R → R, de classe C2, telle que f(x, y) = ϕ(y/x) pour tout (x, y) de Ω. [ S ] 2. Dans cette question, Ω d´esigne l’ouvert R2 \ {0}. On note r(x, y) = � x2 + y2. (a) Montrer que l’application (x, y) �→ ln r(x, y) est harmonique sur Ω. [ S ] (b) R´eciproquement, d´eterminer les applications f de H(Ω, R) pour lesquelles il existe une application ϕ : R+∗ → R, de classe C2, telle que : ∀ (x, y) ∈ Ω, f(x, y) = ϕ(r(x, y)). [ S ] III. Op´erations sur les fonctions harmoniques 1. Montrer que H(Ω, R) est un sous-espace vectoriel mais pas une sous-alg`ebre de C2(Ω, R). [ S ] 2. Soit f un ´element de Cm(Ω, R), avec m ≥ 3. Soit p un entier tel que 1 ≤ p ≤ m − 2. Soi g une application d´eriv´ee partielle d’ordre p de f. Montrer que g est harmonique. Indication : utiliser une r´ecurrence finie sur l’ordre de d´erivation. [ S ] 3. Dans cette question, f, g, h sont des applications de classe C2 sur R2, `a valeurs r´eelles. On suppose que l’application f est harmonique. On suppose qu’on a les ´egalit´es ∂g ∂x = ε∂h ∂y et ∂g ∂y = −ε∂h ∂x, avec ε ∈ {−1, 1}. (a) Montrer que les applications g et h sont harmoniques. [ S ] (b) Montrer que F d´efinie sur R2 par F(x, y) = f(g(x, y), h(x, y)) est harmonique. [ S ] (c) Montrer que l’application gh est harmonique. [ S ] (d) Soit ϕ une similitude affine de R2. Montrer que F = f ◦ ϕ est harmonique sur R2. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.