Exercices de Math´ematiques Suites de fonctions (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que si la suite de fonctions (fn) est uniform´ement convergente, il en est de mˆeme de la suite de fonctions (gn = sin fn). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application continue de [0, 1] dans R, et telle que f(1) = 0. On d´efinit les applications fn sur [0, 1] par fn(x) = xnf(x). ´Etudier la convergence de la suite (fn). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit une suite de polynˆomes (Pn) par : P0 = 1 et ∀n ∈ N, Pn+1 = Pn + 1 2(x − P 2 n). 1. Montrer que Pn+1 − √x = (Pn − √x) � 1 − Pn + √x 2 � 2. Exprimer de mˆeme Pn+1 + √x en fonction de Pn + √x. 3. Montrer que, ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1] √x ≤ Pn+1(x) ≤ Pn(x) ≤ 1. 4. Montrer que la suite (Pn) est simplement convergente, sur [0, 1] vers f : x → √x. 5. Pr´eciser la monotonie des applications x → Pn(x) − √x et x → Pn(x) + √x. 6. Montrer que la convergence de la suite (Pn) est uniforme. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit (Pn)n≥0 une suite de polynˆomes, tous de degr´e inf´erieur ou ´egal `a m. On suppose que la suite (Pn)n≥0 est simplement convergente sur un segment [a, b], avec a < b, vers une application f. Montrer que f est aussi un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a m, et que la convergence de la suite (Pn)n≥0 est uniforme. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.