Probl`emes de Math´ematiques D´eveloppement en s´erie de 1/ sin2(t) ´Enonc´e D´eveloppement en s´erie de 1/ sin2(t) On consid`ere des applications `a valeurs r´eelles et d´efinies sur une partie D de IR. On dit que D v´erifie la condition (1) si : ∀x ∈ D, ∀n ∈ IN∗, ∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, x + k n ∈ D. On dit ensuite que f v´erifie la condition (2) si : ∀x ∈ D, ∀n ∈ IN∗, n2f(x) = n−1 � k=0 f(x + k n ). 1. V´erifier rapidement que IR et IR − ZZ satisfont `a la condition (1). [ S ] 2. Soit f une application continue et v´erifiant la condition (2) sur IR. Montrer que f est l’application nulle. [ S ] 3. (a) Montrer que pour tout n de IN∗ et pour tout z de lC : sin(πz) = 2n−1 n−1 � k=0 sin(πz + k n ). Indication : formule d’Euler et factorisation de Xn − 1 dans , lC. [ S ] (b) En d´eduire que l’application f : x �→ 1 sin2(πx) v´erifie la condition (2) sur IR−ZZ. [ S ] 4. Soit (fn)n∈ZZ une suite de fonctions d´efinies sur un intervalle I de IR et `a valeurs r´eelles, cette suite ´etant indic´ee par l’ensemble des entiers relatifs. On dit que la s´erie � n ∈ZZ fn est simplement (resp. uniform´ement, resp. normalement) conver- gente sur I si les deux s´eries de fonctions � n≥0 fn et � n≥1 f−n sont simplement (resp. uni- form´ement, resp. normalement) convergentes sur I. En cas de convergence on note, pour tout x de I : +∞ � n=−∞ fn(x) = +∞ � n=0 fn(x) + +∞ � n=1 f−n(x). Autrement dit, +∞ � n=−∞ fn(x) est la limite de q � n=p fn(x) quand � p → −∞ q → +∞ (a) Montrer qu’on d´efinit une application S sur IR−ZZ en posant S(s) = +∞ � n=−∞ 1 (x + n)2 [ S ] (b) Prouver que l’application S est p´eriodique de p´eriode 1. [ S ] (c) D´emontrer que S est continue sur IR − ZZ. Indication : montrer que la s´erie d´efinissant S est normalement convergente sur tout segment [a, b] de ]0, 1[. [ S ] (d) Prouver que l’application S v´erifie la condition (2) sur IR − ZZ. [ S ] 5. (a) Montrer que l’application x �→ ψ(x) = π2 sin2 πx − 1 x2 a une limite finie en x = 0. [ S ] (b) Montrer que g : x → π2 sin2 πx − S(x) est continuement prolongeable sur IR. [ S ] (c) On note �g le prolongement continu de g `a IR. Montrer que �g est l’application nulle. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.