Exercices de Math´ematiques S´eries `a termes r´eels positifs ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Pr´eciser la nature de la s´erie de terme g´en´eral un = n! nn Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit (un) une suite de R+. On suppose que la s´erie � n2u2 n converge. Montrer qu’il en est de mˆeme de la s´erie � un. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Nature de la s´erie � un, o`u u0 ∈ R et o`u pour tout n ≥ 1, un = 1 n exp(−un−1). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit (un) une suite de R+ telle que un+1 un = 1 − α n + O � 1 n2 � . Montrer que � un converge si et seulement si α > 1. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient (un) et (vn) deux suites `a termes r´eels strictement positifs. On suppose que pour n ≥ n0, on a l’in´egalit´e un+1 un ≤ vn+1 vn . Montrer que si la s´erie � vn converge, alors la s´erie � un converge. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Pour tout α > 1, trouver un ´equivalent du reste RN = ∞ � n=N+1 un, avec un = 1 nα. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] Pour 0 < α < 1 trouver un ´equivalent quand N → ∞ de SN = N � n=1 un, avec un = 1 nα. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.