Exercices de Math´ematiques D´erivation et int´egration (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 Montrer que lim n → ∞ � 1 0 1 x � 1 − � 1 − 1 x �n� dx = � 1 0 1 − exp(−x) x dx. Exercice 2 Soit f ∈ Cm(R, C), T-p´eriodique. Montrer que lim x → +∞ 1 x � x 0 f(t) dt = 1 T � T 0 f(t) dt. Exercice 3 Soit f ∈ C1([0, π], R), avec f(0) = f(π) = 0. Soit I = � π 0 (f ′(x) − f(x) cot x)2 dx. Transformer I et en d´eduire l’in´egalit´e : � π 0 f(t)2 dt ≤ � π 0 f ′(t)2 dt. Exercice 4 Calculer 1 2πn � α+2π α sin2 � nx−t 2 � sin2 �x−t 2 � dt. Exercice 5 Soit g une application de classe C∞ sur ]a, b] et telle que toutes les d´eriv´ees g(k) poss`edent une limite finie en a+. Montrer que g se prolonge en une application de classe C∞ sur [a, b]. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.