Cours de Math´ematiques D´erivation et int´egration Sommaire D´erivation et int´egration Sommaire I D´erivabilit´e d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 D´erivabilit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 D´erivabilit´e sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.1 Op´erations sur les applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.2 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.3 Op´erations sur les applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.4 Diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.5 Applications de classe Ck par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 III Int´egrale des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . 8 III.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III.2 Int´egrale des fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.3 D´efinition de l’int´egrale des fonctions continues par morceaux . . . . . 9 III.4 Propri´et´es de l’int´egrale des fonctions continues par morceaux . . . . . 10 III.5 Positivit´e et croissance de l’int´egrale pour les fonctions r´eelles . . . . . 11 III.6 Extension de la d´efinition et notation d´efinitive . . . . . . . . . . . . . 12 III.7 In´egalit´e de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 IV Primitives et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.2 Le th´eor`eme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.3 Calcul des int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 IV.4 Le th´eor`eme du rel`evement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 V Accroissements finis et formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 17 V.1 In´egalit´e des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 V.3 Application aux d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 VI Int´egrales d´ependant d’un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Dans ce chapitre, IK d´esigne IR ou lC. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.