Probl`emes de Math´ematiques Nombres de Bernoulli, formule d’Euler-MacLaurin ´Enonc´e Nombres de Bernoulli, formule d’Euler-MacLaurin (D’apr`es l’´epreuve de Maths 1 du concours Centrale-Sup´elec 1999, Option PC) Partie I. Nombres de Bernoulli Les polynˆomes consid´er´es dans ce probl‘eme sont `a coefficients r´eels, et ils sont identifi´es `a leur fonction polynomiale associ´ee. 1. Suite des polynˆomes de Bernoulli (a) Montrer qu’il existe une et une seule suite (Bn)n∈IN de polynˆomes v´erifiant B0 = 1, et pour tout entier n ≥ 1 : B′ n = nBn−1 et � 1 0 Bn(t) dt = 0. (b) Montrer que chaque Bn est unitaire de degr´e n. D´eterminer B1, B2, B3. (c) Pour tout n de IN pour tout t de IR, on pose : Cn(t) = (−1)nBn(1 − t). Montrer que pour tout entier naturel n on a l’´egalit´e : Cn = Bn. 2. Nombres de Bernoulli (a) V´erifier que B0(1) = B0(0) = 1, B1(1) = −B1(0) = 1 2. Prouver que pour tout n ≥ 2, Bn(1) = Bn(0). (b) Pour tout n de IN, on pose bn = Bn(0). Montrer que pour tout entier p ≥ 1, b2p+1 = 0. Partie II. Fonction g´en´eratrice des polynˆomes de Bernoulli 1. D´efinition de la fonction g´en´eratrice φ (a) On note u l’application d´efinie sur IR∗ par x �→ u(x) = x ex − 1. Montrer que u admet un prolongement de classe C∞ sur IR (consid´erer 1/u). (b) On note φ l’application d´efinie sur IR2 par : φ(x, t) = xetx ex − 1 si x ̸= 0 et φ(0, t) = 1. D´eduire de la question pr´ec´edente que φ est de classe C∞ sur IR2. (c) Pour t r´eel fix´e, d´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en 0 de x �→ φ(x, t). (d) Expliciter ∂ ∂tφ(x, t) en fonction de φ(x, t). (e) Pour tout n ≥ 1, montrer que : ∂ ∂t ∂n ∂xnφ(x, t) = x ∂n ∂xnφ(x, t) + n ∂n−1 ∂xn−1φ(x, t) 2. Utilisation de la fonction g´en´eratrice φ Pour tout n de IN et tout r´eel t on pose an(t) = ∂nφ ∂xn (0, t) c’est-`a-dire an(t) = � ∂n ∂xnφ(x, t) � x=0 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.