Cours de Math´ematiques G´eom´etrie euclidienne Sommaire G´eom´etrie euclidienne Sommaire I Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Norme et distance associ´ees `a un produit scalaire . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Relations entre le produit scalaire et la norme associ´ee . . . . . . . . . 4 II Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.1 Vecteurs unitaires, vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.2 Produits scalaires et familles orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.3 Orthogonal d’une partie de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.4 Formes lin´eaires et hyperplans dans un espace euclidien . . . . . . . . 8 II.5 Projections orthogonales dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . 10 III Orientation, produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 13 III.1 Orientation d’un espace eucliden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III.2 Produit mixte dans un espace euclidien orient´e . . . . . . . . . . . . . 15 III.3 Produit vectoriel dans l’espace orient´e de dimension 3 . . . . . . . . . 16 IV Isom´etries et matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 IV.1 Automorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 IV.2 Isom´etries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV.3 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IV.4 Les groupes SO(E) et SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 IV.5 D´eplacements et antid´eplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 V Isom´etries en dimension 1 ou 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 V.1 Isom´etries en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 V.2 Matrices orthogonales d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 V.3 Angle d’une rotation du plan euclidien orient´e . . . . . . . . . . . . . 25 V.4 Isom´etries du plan euclidien orient´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 VI Similitudes du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 VI.1 Nombres complexes et g´eom´etrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . 34 VI.2 Similitudes du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 VII Angles et isom´etries en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 VII.1 Angles en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 VII.2 Isom´etries en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 VIII Cercles, sph`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 VIII.1 Cercles dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 VIII.2 Intersection de droites et de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.