Probl`emes de Math´ematiques Droites de Simson et de Steiner, cercle de Miquel ´Enonc´e Droites de Simson et de Steiner, cercle de Miquel Dans tout le probl`eme, on se place dans un plan euclidien orient´e. Il est recommand´e d’accompagner les raisonnements de figures soigneusement trac´ees. Mais une figure ne pourra en aucun cas tenir lieu de d´emonstration. Les diff´erentes parties ne sont pas ind´ependantes, mais tous les r´esultats utiles pour continuer sont clairement indiqu´es dans l’´enonc´e. Partie I : Cercles et homoth´eties On se donne un cercle C de centre Ω et de rayon r > 0. 1. Image d’un cercle par une homoth´etie On se donne une homoth´etie h de centre H et de rapport λ ̸= 0. (a) Montrer que l’image de C par h est le cercle C′ de centre h(Ω) et de rayon ;;;λ;;; r. [ S ] (b) On suppose que le point H n’est pas int´erieur au cercle C. Montrer que toute tangente `a C passant par H est aussi une tangente `a C′. [ S ] (c) On suppose que H appartient `a C. Montrer que C, C′ sont tangents en H. [ S ] 2. Homoth´eties transformant un cercle donn´e en un autre cercle donn´e R´eciproquement, on se donne un cercle C′ de centre Ω′ et de rayon r′ > 0. (a) D´eterminer pour quelles homoth´eties h on a h(C) = C′. [ S ] (b) On suppose que le cercle C′ est tangent `a C en un point H. Montrer qu’il existe une homoth´etie h, de centre H, telle que h(C) = C′. [ S ] 3. Soient D, D′ deux droites distinctes, et soit H un point n’appartenant ni `a D ni `a D′. Une premi`ere droite passant par H coupe D en A et D′ en A′. Une seconde droite, distincte de la pr´ec´edente, coupe D en B et D′ en B′. On note (C) et (C′) les cercles circonscrits respectivement aux triangles AHB et A′HB′. Montrer que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes : (a) Les droites D et D′ sont parall`eles. (b) Les cercles (C) et (C′) sont tangents en H. [ S ] Partie II : Droites de Simson et de Steiner On se donne trois points non align´es A, B, C. On note C le cercle circonscrit au triangle ABC. Soit M un point quelconque du plan. On note A′, B′, C′ les projections respectives de M sur (BC), (CA), (AB). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.