- 1 - © 2008 - Gérard Lavau - http://pagesperso-orange.fr/lavau/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet, vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. POLYNOMES PLAN I : Présentation des polynômes 1) Définition 2) Lois sur � � [X] 3) Division euclidienne II : Zéros d'un polynôme 1) Définition 2) L'algorithme de Horner 3) Polynôme dérivé 4) Ordre de multiplicité d'une racine 5) Polynôme scindé, relations coefficients–racines 6) Théorème de d'Alembert 7) Fractions rationnelles a) Définition b) Partie entière c) Partie polaire d) Décomposition d'une fraction rationnelle Annexe : Nombres algébriques, nombres transcendants, quadrature du cercle I : Présentation des polynômes 1– Définition On se place sur un corps commutatif � � . Un polynôme (formel) est défini par la donnée de ses coefficients a0, ..., an éléments de � � . X étant une lettre muette, on note P(X) = a0 + a1X + ... + anXn ou ∑ k ≥ 0 akXk , étant entendu que la somme ne comporte qu'un nombre fini de ak non nuls. On distingue parfois le polynôme P(X) (qui, par construction, est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls (*)) de la fonction polynomiale associée : P : � � → � � x → a0 + a1x + ... + anxn = P(x) Celle–ci est nulle si et seulement si : ∀ x ∈ � � , P(x) = 0 (**) D'ailleurs, on peut fort bien faire jouer à X d'autres rôles que des valeurs dans � � . X peut aussi être remplacé par exemple par une matrice, ou un endomorphisme d'un espace vectoriel sur � � . On a bien évidemment l'implication : P(X) = 0 ⇒ ∀ x ∈ K, P(x) = 0.