1.1 Généralités SERIES NUMERIQUES .1 Généralités 1.1.1 Séries convergentes Nous travaillons sur des séries d’éléments réels ou complexes. K désigne R ou C . Definition 1.1 Soit (un) une suite d’éléments de K. On appelle série de terme général un et l’on note [un] la suite (Sn) , où: Sn = n � k=0 uk = u0 + .... + un est appelée somme partielle de rang n de la série [un] . L’élément un est appelé terme général de la série. Une série apparait comme une suite mais le terme général joue un rôle fondamental au même titre que la suite des sommes partielles car l’étude d’une série consiste juste- ment à travailler sur ce terme général: l’examen de un doit nous donner la nature de (Sn)n . C’est la raison pour laquelle [un] est souvent identifié au couple ((un) , (Sn)) et aussi pour laquelle: [un] = [vn] ⇔ un = vn Definition 1.2 On dit que la série [un] est convergente, ssi, la suite (Sn) des sommes partielles converge et dans ce cas la limite de Sn est notée +∞ � n=0 un est dite somme de la série [un] . Remarque 1.1 Etudier la nature d’une série c’est étudier sa convergence. On dit que deux séries sont de même nature ssi elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Etudier la convergence c’est étudier la nature convergente. Le calcul de la somme peut s’avérer hors de portée (c’est souvent le cas...) Remarque 1.2 La série [un+n0] est souvent notée [un]n≥n0 . La suite des sommes par- tielles est � Sn − Sn0−1 = �n k=n0 uk � et dans le cas de la convergence la somme est notée �+∞ n=n0 un. Les séries [un]n≥n0 et [un] sont de même nature mais n’ont pas forcé- ment la même somme. Cela nous permettra d’utiliser des propriétés du terme général un qui ne sont vérifiées qu’à partir d’un certain rang: c’est le caractére asymptotique de la série. La série [un]n≥n0 est dite série tronquée au rang n0 à partir de la série [un] . Remarque 1.3 L’expression ’’la série diverge’’ signifie seulement que la suite (Sn) est divergente et non que la suite (Sn) tend vers l’infini. On dit schématiquement que la 1