Autour de la méthode de Newton Préparation à l’agrégation - option Calcul formel Antoine Chambert-Loir Résumé. — On expose dans ce petit cours la méthode de Newton et quelques avatars 1. La méthode de Newton en analyse Soit I un intervalle de R et f : I → R une application dérivable. Pour déterminer une approximation numérique des solutions de l’équation f(t) = 0, la méthode de Newton part d’une solution approchée x et remplace l’équation f(t) = 0 par l’équation approchée f(x) + (t − x)f ′(x) = 0, d’où la solution t = x − f(x) f ′(x). Bien entendu, cette formule n’a un sens que si f ′(x) ̸= 0. On espère que le nombre réel x1 donné par cette équation est un peu plus proche d’une racine que ne l’était x. En tout cas, si t appartient encore à I, on peut recommencer en partant de t, etc., d’où une suite définie (pas forcément pour tout n) par la relation de récurrence : xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn), x0 ∈ I. Bien entendu, ce procédé d’approximation de l’équation vaut dans des contextes bien plus larges que celui d’une simple fonction de R dans R. Pour l’analyse, on se place généralement dans le cas où f est une application dérivable d’un ouvert Ω d’un espace vectoriel normé E, disons complet, à valeurs dans E.(1) On peut démontrer plusieurs types de résultats concernant la méthode de Newton : (1) un énoncé de convergence locale : pour toute solution ξ de l’équation f(ξ) = 0 telle que f ′(ξ) soit inversible, il existe un voisinage U de ξ tel que pour tout x0 ∈ U, la suite définie par la méthode de Newton soit définie pour tout entier et converge « quadratiquement » vers ξ. (2) un énoncé de convergence un peu plus précis qui fournit, sous certaines hypo- thèses, une boule B telle que la suite donnée par la méthode de Newton soit définie pour tout premier terme dans B et converge (quadratiquement) vers un élément ξ de B qui est l’unique solution dans B de l’équation f(x) = 0. (3) dans certains cas très particuliers, comme celui des fonctions convexes, ou la fonction t �→ t2 − a, un énoncé de convergence globale, pour tout premier terme x0. (1)Certains théorèmes d’analyse comme celui de Nash-Moser requièrent même le cas de l’espace de Fréchet des fonctions C ∞...