Cours - Pierre Lavaurs - DEUG MIAS - Unit´e d’enseignement 11 - Universit´e Lyon I - Ann´ee 2001-2002 1 Chapitre 1 - Concepts et notations de la th´eorie des ensembles Le cours va commencer de fa¸con bien abstraite, par une ´enum´eration peut-ˆetre un peu indigeste de non-d´efinitions (il faut bien des mots non d´efinis pour entamer les premi`eres d´efinitions...), de notations, de d´efinitions. Qu’on se le dise, tout est essentiel pour la suite ! 1 - Ensembles Non-d´efinition 1-1-1 : Le mot ensemble ne sera pas d´efini. Intuitivement, un ensemble est un paquet de choses (qui sont elles-mˆemes des ensembles, mais glissons l`a dessus), non rang´ees, sans r´ep´etition possible. Cette explication intuitive est particuli`erement d´eficiente : la th´eorie des ensembles s’est d´efinitivement constitu´ee au d´ebut du (XX`eme) si`ecle lorsqu’on a pris conscience que certains paquets ne pouvaient d´ecemment ˆetre appel´es “ensembles”. Mais il me faut savoir me taire pour pouvoir avancer. Non-d´efinition 1-1-2 : Le verbe appartenir ne sera pas d´efini. Intuitivement, on dit que a appartient `a un ensemble A lorsqu’il fait partie des choses dont l’ensemble A est un paquet. D´efinition 1-1-1 : Pour tous a et A, on dit que a est ´el´ement de A lorsque a appartient `a A. Notation 1-1-1 : On note a ∈ A pour “a appartient `a A”, et a ̸∈ A pour“a n’appartient pas `a A”. Non-d´efinition 1-1-3 : L’expression est ´egal `a ne sera pas d´efinie. Intuitivement... vous savez bien ce que ¸ca veut dire ! Notation 1-1-2 : On note a = b pour “a est ´egal `a b”. D´efinition 1-1-2 : On dit que deux objets a et b sont distincts ou diff´erents lorsqu’ils ne sont pas ´egaux. Notation 1-1-3 : On note a ̸= b pour “a est distinct de b”. Non-d´efinition 1-1-4 : L’ensemble vide ne sera pas d´efini. Intuitivement, c’est un ensemble qui n’a aucun ´el´ement, par exemple l’ensemble des solutions r´eelles de l’´equation x2 = −1. Notation 1-1-4 : ∅ d´esigne l’ensemble vide. Au-del`a de ces non-d´efinitions, j’utiliserai un certain nombre de propri´et´es intuitives de ces diverses notions sans me risquer `a les ´enoncer. Par exemple si je sais que trois r´eels x, y et z v´erifient x = y et y = z, j’en d´eduirai que x = z sans m’expliquer davantage. Et d’autres manipulations, parfois un peu plus subtiles mais qui ne devraient pas poser de probl`eme. Notation 1-1-5 : Pour un certain nombre d’objets a1, a2, . . . , an, on notera {a1, a2, . . . , an} l’ensemble dont les ´el´ements sont exactement a1, a2, . . . , an. C¸a a l’air simple, mais il y a d´ej`a des pi`eges possibles parmi ces notions non d´efinies, il faut donc se concentrer un peu. Question : les notations {1, 3} et {3, 1} d´esignent-elles le mˆeme ensemble d’entiers ? R´eponse : oui, bien sˆur, le premier ensemble poss`ede 1 et 3 pour ´el´ements, le second poss`ede 3 et 1. L’intuition qu’on peut avoir du mot “et” nous fait affirmer comme ´evident que ce sont les mˆemes. Question : la notation {2, 2, 2} est-elle licite, et si oui que d´esigne-t-elle exactement ? R´eponse : ben, oui, on ne voit pas ce qui l’interdirait ; c’est l’ensemble dont les ´el´ements sont 2, 2 et 2. Vu ce qu’on comprend du mot “et” c’est une fa¸con compliqu´ee de parler de l’ensemble {2}, ensemble `a un seul ´el´ement : l’entier 2. La remarque paraˆıt stupide, mais il arrive effectivement qu’on note des ensembles de cette fa¸con ap- paremment tordue : par exemple, l’´enonc´e suivant est vrai : Pour tous r´eels a (non nul), b et c tels que b2 − 4ac ≥ 0, l’ensemble des solutions r´eelles de l’´equation (d’inconnue x) : ax2 + bx + c = 0 est l’ensemble : {−b + √ b2 − 4ac 2a , −b − √ b2 − 4ac 2a }. Or lorsqu’on ´ecrit une v´erit´e si notoire, dans le cas particulier o`u b2 − 4ac = 0 on a r´ep´et´e deux fois le mˆeme ´el´ement ! Question : Combien d’´el´ements poss`ede l’ensemble {{{3, 6}}} ? R´eponse : un seul bien sˆur ! C’est par d´efinition l’ensemble poss´edant l’unique ´el´ement {{3, 6}}. Concepts et notations de la th´eorie des ensembles