203 Exercices EXERCICE 1 : Soit le système d’équations non linéaires : �� �� � = + = + 4 4 2 2 2 2 y x y x (1) 1) Montrer, par une étude graphique, que le système (1) admet deux solutions. 2) En utilisant la méthode de Newton-Raphson et en partant de l’approximation initiale ( ) �� � �� � = 2.1 2.0 0 X , trouver la valeur approchée de la solution située sur l’axe des y avec une précision de 2 10 − . EXERCICE 2 : On donne le système d’équations non linéaires : �� �� � = − + = + − − 0 4 4 0 5.0 2 2 2 2 y x y x x (1) 1) Combien de solutions possède t-il le système (1) ? 2) On veut utiliser la méthode de Newton-Raphson pour calculer une valeur approchée de la solution dont l’abscisse est positive. Calculer cette valeur si l’approximation initiale est ( ) �� � �� � = 25 .0 2 0 X et la précision est 2 10 − . EXERCICE 3 : Soit l’équation : 0 10 3 2 = − − i Z Z où Z est le nombre complexe y i x Z + = et 1 2 − = i . 1) Trouver le système d’équations non linéaires ( ) ( ) � � � = = 0 , 0 , y x g y x f que x et y doivent vérifier. 2) Utiliser la méthode de Newton avec les valeurs initiales 3 = x et 1 = y pour calculer les trois premières itérations à partir du système d’équations non linéaires. EXERCICE 4 : Soit le système d’équations non linéaires : ( )1 0 1 3 2 2 �� �� � = − = + y x y x . 1) Tracer dans un plan y x O les courbes représentant les deux équations du système (1), et donner une valeur approximative de la solution de ce système. 2) Utiliser la méthode des substitutions successives pour calculer les trois premières itérations à partir des valeurs initiales 9.0 = x et 5.0 = y . EXERCICE 5 : Soit le système d’équations non linéaires :