1 Quelques rappels de topologie FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1 Quelques rappels de topologie On redonne ici quelques dé…nitions et résultats essentiels, sans prétendre à l’exhaustivité. E et F désignent des espaces vectoriels sur K = R ou C: De…nition 0.1 On appelle norme sur E toute application N : E ! R+ véri…ant les axiomes de norme suivant: � 8x 2 E; N (x) = 0 , x = 0E: (séparation) � 8x 2 E; 8� 2 K; N (�x) = j�j N (x) : (homogeneïté positive) � 8 (x; y) 2 E2; N (x + y) � N (x) + N (y) : (inégalité triangulaire). Le couple (E; N) est appelé espace vectoriel normé (evn). On note souvent N (x) = kxk : Q1: montrez que l’on peut remplacer dans la dé…nition d’une norme la 3�eme condition par celle-ci: la boule unité fermée de E est convexe1. Exercice 1 Véri…er que les couples suivants sont des evn: Exemple 0.1 1. E = Kn; k(x1; :::; xn)k1 = jx1j + ::: + jxnj : Idem avec k(x1; :::; xn)k1 = max fjx1j ; :::; jxnjg et k(x1; :::; xn)k2 = q jx1j2 + ::: + jxnj2: 2. E = Mn (K) ; kAk = Tr (tAA) : 3. E = C ([a; b] ; K) ; kfk1 = sup[a;b] jfj : Idem avec kfk1 = R b a jfj et kfk2 = qR b a jfj2: Proposition 0.1 Soit (E; h; i) un espace préhilbertien, alors l’application x 2 E 7! p hx; xi dé…nit une norme sur E dite norme euclidienne dérivée du produit scalaire h; i : Q2: Démontrez ce résultat. De…nition 0.2 On appelle norme euclidienne une norme qui dérive d’un produit scalaire. Exercice 2 Toutes les normes sont-elles euclidiennes ? (pensez à l’identité du parallélo- gramme). Exhibez des contre-exemples. 1 c’est à dire que tout segment d’éxtrêmités dans B0 (0; 1) est contenu dans B0 (0; 1) : 1