MESURE ET INTEGRATION Danc ce chapïtre sont construits les outils indispensables à l’élaboration des théories qui con- stituent la base de la formation des ingénieurs: analyse harmonique, analyse hilbertienne et proba- bilité ( théorie mathématique ayant pour but de décrire, d’interpréter et modéliser les phénoménes dans lesquels le hasard intervient.) Les résultats les plus importants sont le théorème de convergence dominée et le théorème de Fubini. Cette théorie est prise dans la théorie moderne de l’intégration 1 Opérations booléennes Ce sont les opérations ensemblistes sur les parties d’un ensemble � qui sont aussi utilisées dans les mathématiques appliquées à l’informatique. Il y a la réunion …nitaire d’une famille …nie d’ensembles, et la réunion dénombrable où �� réunion d’une famille d’ensemble indexée sur un ensemble dénombrable. On fait la même chose avec l’intersection. Il y a le passage au complémentaire noté Ac = � � A: La di¤érence entre ensemble A � B = A \ (� � A) : La di¤érence symétrique A�B = (A � B) [ (B � A) correspondant au ou exclusif. Si la suite (An) est croissante pour l’inclusion ( resp décroissante), on dit que An A = [An (resp An # A = \An): Sinon on dé…nit la limite supérieure (resp inférieure) de la suite An par: limAn = \ n2N � [ k�nAk � (resp limAn = [ n2N � \ k�nAk � ) et on dit que la suite An est convergente, ssi, limAn = limAn que l’on considére être la limite de An: En…n une application associée à une partie joue un rôle important en théorie de l’intégration dite fonction indicatrice est dé…nie comme suit. 8x 2 � �A(x) = 1A(x) = � 1 si x 2 A 0 si x =2 A : En…n si une famille est constituée d’ensembles disjoints deux à deux, on note: [ i2IAi = X i2I Ai Rappel: Theoreme 1 de Cantor-Berstein: Il existe une injection de l’ensemble X dans l’ensemble Y;ssi, il existe une surjection de Y sur X . il existe une une injection (resp surjection) de X dans Y;ssi, il existe une bijection de X sur Y: De…nition 1 on dit que deux ensembles X et Y sont équipotents, ssi, il existe une bijection de X sur Y: On dit alors qu’ils ont même cardinal et on le note jXj : On dit que le cardinal de X est inférieur à Y (jXj � jY j); ssi, il existe une injection de X dans Y où encore qu’il existe une surjection de Y sur X . On a: SijXj � jY j et si jXj � jY j ; alors jXj = jY j : En…n, on a: jXj < jY j ou jXj = jY j ou jXj � jY j : Cela montre que � est une relation d’ordre sur la collection des ensembles. On dit qu’un ensemble X est dénombrable, ssi, jXj � jNj : On dit que X est in…ni, ssi, il existe x 2 X tel que jXj � jX � fxgj et qu’il est …ni sinon. Remarque 1 jXj < jY j signi…e jXj � jY j et jXj 6= jY j : Voici quelques résultats sur les cardinaux. Exercice 1 Montrer que N est in…ni. Montrer qu’un ensemble qui contient un ensemble in…ni est in…ni. 1