Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1e année Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l’outil principal d’approximation locale des fonc- tions. L’objectif de ce chapitre est de vous apprendre à les calculer. Vous aurez es- sentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et la dérivation. Table des matières 1 Cours 2 1.1 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Développement des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Entraînement 20 2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Compléments 41 3.1 La formule de Machin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Taylor was rich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Madhava de Sangamagramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Polynômes d’approximation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 43