1 Mise en place des notions de base ESPACES METRIQUES ET ESPACES VECTORIELS NORMES Dans ce chapïtre K désigne R ou C . E désigne un K−espace et X un ensemble. 1 Mise en place des notions de base 1.1 A quoi ça sert? Il s’agit de situer les choses (analysis situ comme on l’appellait jadis) dans un espace qui pour nous sera le plus souvent un espace vectoriel mais qui dans sa généralité dépasse et de loin ce que l’on va faire. D’un point de vue physique imaginons un archer confronté au problème qui conciste à atteindre le centre d’une cible avec un arc et une flêche qu’on peut identifier à un vecteur. Son problème est de déterminer l’inclinaison initial qu’il doit donner à sa fléche en supposant réalisée des conditions initiales (tension de la corde, rigidité de l’arc, angles de visées) parfaites telles que lorsqu’il tire il atteint à coup sur le centre de la cible. Mais cette position symbolisée par un vecteur x0 n’est pas toujours facile à réaliser. Si on note f (x0) le résultat du tir on n’est pas sûr que ce soit le centre de la cible. L’archer plus modestement va s’imposer d’atteindre un point située à l’intérieur d’un cercle de centre le centre de la cible et de rayon ε et cherchera une région telle que si x représentant la fléche dans sa position initiale, f (x) soit dans le cercle de centre le centre de la cible et de rayon ε. Bien sûr il va partir du principe que x0 appartient à cette région et qu’avec un peu de chance parfois il le trouvera. On peut le symboliser par un cône de sommet la base de la flèche de l’arc bandé et d’angle au sommet α. Plus généralement, on s’intéresse aux problèmes physiques tels que à défaut de réaliser x0 ce qui donnerait f (x0) , il est possible d’avoir f (x0) à ε prés lorsqu’on a x0 à α prés. C’est un phénomène continu et il nous faudra forger les outils donnant un sens aux mots distances dans l’espace initial (arc et flèche) et l’espace final (cible) et à des expressions ”à ε−prés” ou ”suffisamment proche de”. 1.2 Normes Definition 1.1 On appelle norme sur E toute application N de E dans R+ vérifiant les axiomes suivants: 1) ∀ (α, x) ∈ K×E N (αx) = ;;;α;;; N (x) (homogénéité) 2) ∀ (x, y) ∈ E2 N (x + y) ≤ N (x) + N (y) (inégalité triangulaire) 3) ∀x ∈ E N (x) ⇔ 0 ⇔ x = 0 (séparation) et espce vectoriel normé (EVN) le couple (E, N) . Si N ne vérifie que 1 et 2 on parle de semi- norme. Remarque 1.1 Pour montrer qu’une semi-norme S est une norme il faut et il suffit de mon- trer que: ∀x ∈ E S (x) = 0 ⇒ x = 0 car l’implication inverse réulte de homogénéité. Exemple 1.1 Les exemple basiques sont (K, ;;;.;;;) . 1